ਗਣਿਤਕ ਸਬੂਤ

ਸਿਧਾ ਸਬੂਤ

ਪਹਿਲਾ ਹੀ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਤੱਥ ਜਾ ਦਲੀਲਾਂ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੇ ਹੱਲ ਕੱਢਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਦੋ ਜਿਸਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹਮੇਸ਼ਾ ਜਿਸਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਮੰਨ ਲਓ ਦੋ ਜਿਸਤ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ x ਅਤੇ y ਹਨ।

ਜਿਸਤ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ x = 2a ਅਤੇ y = 2b ਜਿਥੇ a ਅਤੇ b ਦੋ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹਨ।

ਇਹਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ x + y = 2a + 2b = 2(a+b)

ਇਸਲਈ x+y ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਾਕ 2 ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਸਬੂਤ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਜਿਸਤ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਵੀ ਜਿਸਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਸਿੱਟੇ ਕੱਢਣ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ

ਇਹ ਸਬੂਤ ਤਰਕ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇੱਕ ਇਕੱਲਾ ਅਧਾਰ ਕੇਸ ਸਿੱਧ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਸਿੱਟੇ ਕੱਢਣ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾ n = 1 ਲਈ ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਸੱਚ ਹੈ। ਫਿਰ ਮੰਨ ਲਈ P(n) ਸੱਚ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਕੇ ਇਹ ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ P(n+1) ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ: ਸਾਰੀ ਪੂਰਣ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜੋ 2n + 1 ਹਨ ਟਾਂਕ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

(i) ਜੇ n = 1, 2n + 1 = 2(1) + 1 = 3, ਅਤੇ 3 ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਇਸਲਈ P(1) ਸੱਚ ਹੈ।

(ii) ਕਿਸੇ n ਲਈ 2n + 1 ਹੈ ਤਾਂ, 2(n+1) + 1 = (2n+1) + 2। ਜੇ2n + 1 ਟਾਂਕ ਹੈ ਤਾਂ (2n+1) + 2 ਵੀ ਟਾਂਕ ਹੀ ਹੋਵੇਗਾਂ ਕਿਉਂਕੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ 2 ਜੋੜਣ ਨਾਲ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਲਈ P(n+1) ਸੱਚ ਹੈ ਜੇ P(n) ਸੱਚ ਹੈ।

ਇਸਲਈ ਸਾਰੇ ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਤਕ ਸੰਖਿਆ n ਲਈ 2n + 1 ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।.

ਰੂਪਾਂਤਰ ਦਾ ਢੰਗ

ਜੇ p ਹੈ ਤਾਂ q" ਹੈ ਪ੍ਰੀਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਜੇ q ਨਹੀਂ ਹੈ ਤਾਂ p ਨਹੀਂ ਹੈ।ਇਸ ਨੂੰ ਰੂਪਾਂਤਰ ਦਾ ਢੰਗ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ x ਪੂਰਣ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਤਾਂ,ਜੇ x² ਜਿਸਤ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਤਾਂ x ਵੀ ਜਿਸਤ ਹੈ।

ਮੰਨ ਲਉ x ਜਿਸਤ ਨਹੀਂ ਹੈ ਤਾਂ x ਟਾਂਕ ਹੋਵੇਗੀ ਦੋ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਟਾਂਕ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ x² = x•x ਟਾਂਕ ਹੈ ਤਦ x² ਜਿਸਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਖੰਡਨ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ

ਜੇ ਕੋਈ ਕਥਨ ਸੱਚਾ ਹੈ ਤਾਂ ਖੰਡਨ ਦਾ ਤਰਕ ਪੈਂਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਦ ਕਥਨ ਝੂਠਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ਇੱਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

ਮੰਨ ਲਉ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ਇਕਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਤਾਂ ਪ੍ਰੀਭਾਸ਼ਾ ਮੁਤਾਬਕ ${\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}$ ਜਿਥੇ a ਅਤੇ b ਦੋ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਤਦ ${\displaystyle b{\sqrt {2}}=a}$ .

ਦੋਨੇ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਲੈਣ ਤੇ

2b² = a²

ਜਿਵੇਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ 2 ਵੰਡਦਾ ਹੈ ਇਸਲਈ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਵੀ ਵੰਡੇਗਾ।

ਇਸਲਈ a² ਇੱਕ ਜਿਸਤ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਦਾ ਮਤਲਵ ਹੈ ਕਿ a ਵੀ ਜਿਸਤ ਹੈ ਇਸਲਈ ਅਸੀਂ a = 2c ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਥੇ c ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਰੱਕਣ ਤੇ,

2b² = (2c)² = 4c²

ਦੋਨੋਂ ਪਾਸਿਆ ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇਣ ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

b² = 2c²

ਪ੍ਰੰਤੂ ਪਹਿਲਾ ਵਾਲੀ ਤਰਕ ਮੁੁਤਾਬਕ b² ਵੀ 2 ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਸੋ b ਵੀ ਜਿਸਤ ਹੈ।

ਜੇ a ਅਤੇ b ਦੋਨੋਂ ਜਿਸਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਤਾਂ ਦੋਨੋਂ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ 2 ਹੋਵੇਗਾ ਜੋ ਕਿ ਸਾਡੀ ਮੰਨੀ ਹੋਈ ਦਾ ਖੰਡਨ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ਇੱਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।