Niech { G i } {\displaystyle \{G_{i}\}} będzie ciągiem grup oraz φ i : G i → G i + 1 {\displaystyle \varphi _{i}\colon G_{i}\to G_{i+1}} – ciągiem homomorfizmów:
… → φ n − 1 G n → φ n G n + 1 → φ n + 1 … {\displaystyle \ldots \xrightarrow {\varphi _{n-1}} \,G_{n}\,\xrightarrow {\varphi _{n}} \,G_{n+1}\,\xrightarrow {\varphi _{n+1}} \ldots } Ten ciąg grup i homomorfizmów nazywamy ciągiem dokładnym , jeśli obraz każdego homomorfizmu jest równy jądru następnego homomorfizmu:
i m φ n = ker φ n + 1 {\displaystyle \mathrm {im} \,\varphi _{n}=\ker \,\varphi _{n+1}} [1] ,gdzie:
i m φ n = { φ ( g ) : g ∈ G n } , {\displaystyle \mathrm {im} \,\varphi _{n}=\{\varphi (g):g\in G_{n}\},} ker φ n + 1 = { g ∈ G n + 1 : φ ( g ) = e n + 2 } , {\displaystyle \ker \,\varphi _{n+1}=\{g\in G_{n+1}:\varphi (g)=e_{n+2}\},} e n {\displaystyle e_{n}} jest elementem neutralnym grupy G n . {\displaystyle G_{n}.} Ciągi dokładne określa się także dla innych niż grupy struktur algebraicznych, na przykład dla modułów, jeśli są one grupami ze względu na jedno z działań[2] .
Kategorie abelowe Ciąg
… → α n − 1 A n → α n A n + 1 → α n + 1 A n + 2 … {\displaystyle \ldots \xrightarrow {\alpha _{n-1}} \,A_{n}\,\xrightarrow {\alpha _{n}} \,A_{n+1}\,\xrightarrow {\alpha _{n+1}} \,A_{n+2}\,\dots } obiektów kategorii abelowej A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} i morfizmów α n , {\displaystyle \alpha _{n},} takich że
K e r α n + 1 = I m α n {\displaystyle \mathrm {Ker} \,\alpha _{n+1}=\mathrm {Im} \,\alpha _{n}} jest nazywany ciągiem dokładnym[3] .
Przykłady Niech 1 {\displaystyle \mathrm {1} } oznacza grupę trywialną (składającą się tylko z elementu neutralnego). Wtedy dokładność ciągu: 1 → G → φ H {\displaystyle \mathrm {1} \to G{\xrightarrow {\varphi }}H} oznacza, że φ {\displaystyle \varphi } jest monomorfizmem , bo ker φ = 1 , {\displaystyle \ker \,\varphi =1,} gdzie 1 jest elementem neutralnym grupy H , {\displaystyle H,} G → φ H → 1 {\displaystyle G{\xrightarrow {\varphi }}H\to \mathrm {1} } oznacza, że φ {\displaystyle \varphi } jest epimorfizmem , bo i m φ = H , {\displaystyle \mathrm {im} \,\varphi =H,} 1 → G → φ H → 1 {\displaystyle \mathrm {1} \to G{\xrightarrow {\varphi }}H\to \mathrm {1} } oznacza, że φ {\displaystyle \varphi } jest izomorfizmem , co wynika z dwóch poprzednich przykładów.Niech grupa G {\displaystyle G} zawiera nietrywialną podgrupę normalną G 0 . {\displaystyle G_{0}.} Wtedy ciąg dokładny 1 → G 0 → G → G 1 → 1 {\displaystyle 1\to G_{0}\to G\to G_{1}\to 1} nazywa się rozszerzeniem grupy G 1 {\displaystyle G_{1}} za pomocą grupy G 0 . {\displaystyle G_{0}.} Badanie rozszerzeń grupy sprowadza się do badania grup: podgrupy G 0 {\displaystyle G_{0}} oraz faktorgrupy G 1 = G / G 0 {\displaystyle G_{1}=G/G_{0}} [4] .
… ← K n − 1 ← ∂ n K n ← ∂ n + 1 K n + 1 ← … {\displaystyle \ldots \leftarrow K_{n-1}\xleftarrow {\partial _{n}} K_{n}\xleftarrow {\partial _{n+1}} K_{n+1}\leftarrow \ldots } jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n {\displaystyle n} spełniona jest równość
ker ( ∂ n ) = im ( ∂ n + 1 ) , {\displaystyle \ker(\partial _{n})=\operatorname {im} (\partial _{n+1}),} to znaczy, gdy dla wszystkich n {\displaystyle n} zachodzi równość H n K = 0. {\displaystyle H_{n}K=0.}
Zatem homologie można interpretować jako miarę odchylenia kompleksu od dokładności . Kompleks dokładny nazywany jest kompleksem acyklicznym (nie ma w nim żadnych cykli poza brzegami )[5] .
Dla przekształcenia łańcuchowego f : K ∙ → L ∙ {\displaystyle f\colon K_{\bullet }\to L_{\bullet }} kategorii ∂ A G {\displaystyle \partial {\mathcal {AG}}} kompleksy L ∙ , {\displaystyle L_{\bullet },} stożek C f ∙ {\displaystyle Cf_{\bullet }} i zawieszenie K ∙ + {\displaystyle K_{\bullet }^{+}} ze sobą związane krótkim ciągiem dokładnym: 0 → L ∙ → ι C f ∙ → κ K ∙ + → 0 , {\displaystyle 0\to L_{\bullet }{\xrightarrow {\iota }}Cf_{\bullet }{\xrightarrow {\kappa }}K_{\bullet }^{+}\to 0,} gdzie ι y = ( y , 0 ) {\displaystyle \iota y=(y,0)} i κ ( y , x ) = x . {\displaystyle \kappa (y,x)=x.}
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia А.А. Кириллов: Теория представлений . Москва: Наука, 1978. Brak numerów stron w książce Stanisław Balcerzyk, Tadeusz Józefiak: Pierścienie przemienne . Warszawa: PWN, 1985. ISBN 83-01-04874-3 . Brak numerów stron w książce Математическая энциклопедия . Виноградов И.М. (red.). T. 5. Москва: Советская энциклопедия, 1985. Brak numerów stron w książce A. Dold: Lectures on algebraic topology . Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag, 1972. Brak numerów stron w książce