Análise funcional
A análise funcional é o ramo da matemática, e mais especificamente da análise, que trata do estudo de espaços de funções. Tem suas raízes históricas no estudo de transformações, tais como a Transformada de Fourier, e no estudo de equações diferenciais e equações integrais. A palavra funcional remonta ao cálculo de variações, implicando uma função cujo argumento é uma função. Seu uso em geral é atribuído a Volterra.[1][2]
Um grande impulso para o avanço da análise funcional durante o século XX foi a modelagem, devida a John von Neumann, da mecânica quântica em espaços de Hilbert.
Entre os teoremas importantes da análise funcional, estão:
- teorema de Hahn-Banach
- teorema da função aberta
- teorema do ponto fixo de Banach
- teorema do ponto fixo de Schauder
- teorema de Banach-Alaoglu
Relação com outras áreas da matemática
A análise funcional faz uso de muitos conceitos de álgebra linear, e pode ser considerada até certo ponto como o estudo de espaços normados de dimensão infinita. Durante o século XX diversas técnicas da topologia foram aplicadas no estudo da análise funcional, principalmente a teoria do grau.Um tópico da análise funcional que possui forte relação com a topologia é o estudo dos espaços vetoriais localmente convexos, onde não se admite necessariamente a existência de uma norma definindo uma topologia sobre os espaços vetoriais estudados.A partir da segunda metade do século XX, graças aos trabalhos de von Neumann, Naimark e Gelfand, a análise funcional tem sido utilizada no estudo de álgebras não-comutativas e da K-teoria algébrica.
Referências
Ver também
- Física matemática
- Espaços topológicos
- Funções contínuas
- Espaços métricos
- Espaços de medida
- Funções integráveis
- Integrais de Riemann e Lebesgue
- Integral de Riemann
- Integral de Lebesgue
- Espaço Lp
- Espaço normal
- Espaço normado
- Espaço de Banach
- Aplicação linear
- Funcional linear
- Espaços dual
- Espaços de Hilbert
- Séries de Fourier
- Operadores lineares contínuos
- Ergodicidade
Bibliografia
- Chaim Samuel Hönig, Análise funcional e o problema de Sturm-Liouville; Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Conselho Nacional de Pesquisas, 1971, OCLC 3860263
- Luis Adauto Medeiros, Tópicos de análise funcional; Instituto de Matemática. Universidade Federal de Pernambuco, 1968 OCLC 3860263
- Chaim Samuel Hönig, Análise funcional e aplicações; São Paulo, Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, 1970. OCLC 10851054
- Klaus Floret, Algumas idéias básicas da análise funcional linear; Sociedade Paranaense de Matemática, 1987 OCLC 64018339
- Semana de Análise Funcional não Linear, Atas de Análise Funcional não Linear: Instituto de Matemática e Estatística da USP.; Sociedade Brasileira de Matemática, 1974 OCLC 707693913
- Jaime Lesmes, Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Brazil), Seminário de análise funcional; Instituto de Matemática Aplicada, 1976 OCLC 3263410
