Em álgebra , Decomposição em frações parciais ou Expansão em frações parciais é um método que permite decompor expressões racionais, isto é, quocientes de dois polinômios , em uma soma de frações mais simples, chamadas frações parciais . É um recurso matemático muito utilizado na simplificação de problemas envolvendo integrais e transformadas de Laplace .
Dada uma função racional R ( x ) = P ( x ) Q ( x ) {\displaystyle R(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}} P ( x ) {\displaystyle {P(x)}} Q ( x ) {\displaystyle {Q(x)}} Q seja maior que o grau de P , têm-se que:
1) Decomposição de fator linear x − a {\displaystyle x-a} multiplicidade n.
R ( x ) = P ( x ) ( x − a ) n = A 1 ( x − a ) + A 2 ( x − a ) 2 + . . . + A n ( x − a ) n {\displaystyle R(x)={\frac {P(x)}{(x-a)^{n}}}={\frac {A_{1}}{(x-a)}}+{\frac {A_{2}}{(x-a)^{2}}}+...+{\frac {A_{n}}{(x-a)^{n}}}} [ 1]
Exemplo:
R ( x ) = ( x + 1 x ∗ ( x + 2 ) 2 ) = ( A x ) + ( B x + 2 ) + ( C ( x + 2 ) 2 ) {\textstyle R(x)=\left({\frac {x+1}{x*(x+2)^{2}}}\right)=\left({\frac {A}{x}}\right)+\left({\frac {B}{x+2}}\right)+\left({\frac {C}{(x+2)^{2}}}\right)}
Decompomos o denominador acima no maior número de frações possíveis.
= ( A ( x + 2 ) 2 + B x ( x + 2 ) + C x x ( x + 2 ) 2 ) = ( ( A x 2 + 4 A x + 4 A ) + ( B x 2 + 2 B x ) + C x x ( x + 2 ) 2 ) {\displaystyle =\left({\frac {A(x+2)^{2}+Bx(x+2)+Cx}{x(x+2)^{2}}}\right)=\left({\frac {(Ax^{2}+4Ax+4A)+(Bx^{2}+2Bx)+Cx}{x(x+2)^{2}}}\right)}
Rearrumando os termos do numerador:
= ( x 2 ( A + B ) + x ( 4 A + 2 B + C ) + 4 A x ( x + 2 ) 2 ) {\displaystyle =\left({\frac {x^{2}(A+B)+x(4A+2B+C)+4A}{x(x+2)^{2}}}\right)}
A fim de criar um sistema envolvendo os coeficientes das potências de x {\displaystyle x}
{ A + B = 0 4 A + 2 B + C = 1 4 A = 1 {\displaystyle {\begin{cases}A+B=0\\4A+2B+C=1\\4A=1\end{cases}}}
Resolvendo o sistema, temos que A= 1/4 B= -1/4 e C= 1/2
Portanto a nova fração é dada por:
( 1 4 x ) − ( 1 4 ( x + 2 ) ) + ( 1 2 ( x + 2 ) 2 ) {\textstyle \left({\frac {1}{4x}}\right)-\left({\frac {1}{4(x+2)}}\right)+\left({\frac {1}{2(x+2)^{2}}}\right)}
2) Decomposição de um fator quadrático irredutível ( x − a ) 2 + b 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+b^{2}}
R ( x ) = P ( x ) [ ( x − a ) 2 + b 2 ] n = A 1 ∗ x + B 1 [ ( x − a ) 2 + b 2 ] + A 2 ∗ x + B 2 [ ( x − a ) 2 + b 2 ] 2 + . . . + A n ∗ x + B n [ ( x − a ) 2 + b 2 ] n {\displaystyle R(x)={\frac {P(x)}{[(x-a)^{2}+b^{2}]^{n}}}={\frac {A_{1}*x+B_{1}}{[(x-a)^{2}+b^{2}]}}+{\frac {A_{2}*x+B_{2}}{[(x-a)^{2}+b^{2}]^{2}}}+...+{\frac {A_{n}*x+B_{n}}{[(x-a)^{2}+b^{2}]^{n}}}}
3) Podemos também decompor frações em denominadores simples, primos e irredutíveis:
Exemplo:
( 1 18 ) = ( 1 2 ) − ( 1 3 ) − ( 1 3 2 ) {\displaystyle \left({\frac {1}{18}}\right)=\left({\frac {1}{2}}\right)-\left({\frac {1}{3}}\right)-\left({\frac {1}{3^{2}}}\right)}
4) Outra técnica utilizada é a técnica dos limites ou método de Heaviside :
Exemplo:
R ( x ) = ( x 2 + 3 x − 4 ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) ) {\displaystyle R(x)=\left({\frac {x^{2}+3x-4}{(x+3)(x+2)(x-2)}}\right)}
Podemos reescrever a fração como;
( A x + 3 ) + ( B x − 2 ) + ( C x + 2 ) {\displaystyle \left({\frac {A}{x+3}}\right)+\left({\frac {B}{x-2}}\right)+\left({\frac {C}{x+2}}\right)}
Agora usamos os limites para determinar os coeficientes.
A = lim x → − 3 ( x 2 + 3 x − 4 ( x − 2 ) ( x + 2 ) ) = ( 9 − 9 − 4 ( − 5 ) ( − 1 ) ) = − ( 4 5 ) {\displaystyle A=\lim _{x\to -3}\left({\frac {x^{2}+3x-4}{(x-2)(x+2)}}\right)=\left({\frac {9-9-4}{(-5)(-1)}}\right)=-\left({\frac {4}{5}}\right)}
B = lim x → 2 ( x 2 + 3 x − 4 ( x + 3 ) ( x + 2 ) ) = ( 4 + 6 − 4 ( 5 ) ( 4 ) ) = ( 3 10 ) {\displaystyle B=\lim _{x\to 2}\left({\frac {x^{2}+3x-4}{(x+3)(x+2)}}\right)=\left({\frac {4+6-4}{(5)(4)}}\right)=\left({\frac {3}{10}}\right)}
C = lim x → − 2 ( x 2 + 3 x − 4 ( x + 3 ) ( x − 2 ) ) = ( 4 − 6 − 4 ( 1 ) ( − 4 ) ) = ( 3 2 ) {\displaystyle C=\lim _{x\to -2}\left({\frac {x^{2}+3x-4}{(x+3)(x-2)}}\right)=\left({\frac {4-6-4}{(1)(-4)}}\right)=\left({\frac {3}{2}}\right)}
Logo a nova expressão é dada por:
− ( 4 5 ( x + 3 ) ) + ( 3 10 ( x − 2 ) ) + ( 3 2 ( x + 2 ) ) {\displaystyle -\left({\frac {4}{5(x+3)}}\right)+\left({\frac {3}{10(x-2)}}\right)+\left({\frac {3}{2(x+2)}}\right)} [ 2]
Frações parciais em Laplace Muitas vezes, ao tentar calcular a transformada inversa de uma F(s), nos deparamos com um polinômio de alto grau não sendo fácil determinar a sua f(t). A partir disso, um método para solucionar essa questão é o uso de frações parciais, que possibilitam reescrever o polinômio de uma maneira em que ele tenha apenas um grau ou dois, sendo fácil, então, determinar sua transformada inversa.[ 3]
Por exemplo:
Sendo F ( s ) = 1 ( s − 1 ) ( s 2 + 1 ) {\displaystyle F(s)={\frac {1}{(s-1)(s^{2}+1)}}}
Utilizando frações parciais podemos escrevê-la como F ( s ) = A ( s − 1 ) + B + C s ( s 2 + 1 ) {\displaystyle F(s)={\frac {A}{(s-1)}}+{\frac {B+Cs}{(s^{2}+1)}}}
e então como
F ( s ) = A ( s 2 + 1 ) + ( B + C s ) ( s − 1 ) ( s − 1 ) ( s 2 + 1 ) {\displaystyle F(s)={\frac {A(s^{2}+1)+(B+Cs)(s-1)}{(s-1)(s^{2}+1)}}}
Chegando, então, ao seguinte sistema:
{ A + C = 0 B − C = 0 A − B = 1 {\displaystyle {\begin{cases}\ A+C=0\\B-C=0\\\ A-B=1\end{cases}}\ \ {\begin{aligned}&\ \\&\ \\&\ \end{aligned}}\ \ \ }
Ao resolvê-lo, chegamos em A = 1 2 {\displaystyle A={\frac {1}{2}}} B = C = − 1 2 {\displaystyle B=C=-{\frac {1}{2}}}
Dessa forma, F ( s ) = 1 2 ( 1 ( s − 1 ) − s + 1 ( s 2 + 1 ) ) {\displaystyle F(s)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{(s-1)}}-{\frac {s+1}{(s^{2}+1)}}\right)} F ( s ) = 1 2 ( 1 ( s − 1 ) − s ( s 2 + 1 ) − 1 ( s 2 + 1 ) ) {\displaystyle F(s)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{(s-1)}}-{\frac {s}{(s^{2}+1)}}-{\frac {1}{(s^{2}+1)}}\right)}
Com isso, ao utilizarmos frações parciais, chegamos em uma expressão que contém apenas transformadas inversas conhecidas e tabeladas, podendo ser facilmente determinada:
f ( t ) = 1 2 ( e t − cos ( t ) − s e n ( t ) ) {\displaystyle f(t)={\frac {1}{2}}(e^{t}-\cos(t)-sen(t))}
Referências 
![{\displaystyle R(x)={\frac {P(x)}{[(x-a)^{2}+b^{2}]^{n}}}={\frac {A_{1}*x+B_{1}}{[(x-a)^{2}+b^{2}]}}+{\frac {A_{2}*x+B_{2}}{[(x-a)^{2}+b^{2}]^{2}}}+...+{\frac {A_{n}*x+B_{n}}{[(x-a)^{2}+b^{2}]^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c45259d33a1168be718d7215f02d0f86e08f7c)
