Espaços linha e coluna
Em álgebra linear, os espaços linha e coluna referem-se aos espaços vetoriais gerados pelos conjuntos dos vetores linha e coluna de uma matriz. A dimensão do espaço linha de uma matriz é chamada de posto linha, enquanto que a dimensão do espaço coluna é chamada posto coluna. Como o posto linha é igual ao posto coluna é usual usar, simplesmente, o termo posto sem fazer referência a linha ou coluna. Também, usamos a notação para nos referirmos ao posto da matriz . [1][2][3]
Definição
Seja uma matriz real
.
Espaço linha
O espaço linha de é o espaço vetorial gerado pelo conjunto de vetores
, onde:
.
A dimensão do espaço linha de é chamada de posto linha da matriz.[1][2][3]
Espaço coluna
O espaço coluna de é o espaço vetorial
gerado pelo conjunto de vetores
, onde:
.
A dimensão do espaço coluna de é chamada de posto coluna da matriz.[1][2][3]
Propriedades do espaço linha
O espaço linha de uma matriz possui as seguintes propriedades:[1]
- O posto linha de uma matriz é menor ou igual ao número de colunas da mesma.
- Se
e
são matrizes equivalentes por linha, então elas têm o mesmo posto linha.
Demonstração
1. O posto linha de uma matriz é menor ou igual ao número de colunas da mesma.
Seja uma matriz real
. Então, os vetores linhas de
formam um subconjunto do espaço euclidiano
-dimensional. Ou seja, a dimensão do espaço linha é no máximo
.
2. Se e
são matrizes equivalentes por linha, então elas têm o mesmo posto linha.
Com efeito, se e
são matrizes equivalentes por linha, então as linhas de
são combinações lineares das linhas de
e vice-versa. Portanto, o espaço vetorial gerado pelas linhas de
é igual ao espaço vetorial gerado pelas linhas de
, como queríamos demonstrar.
Propriedades do espaço coluna
O espaço coluna de uma matriz possui as seguintes propriedades:[1]
- O posto coluna de uma matriz é menor ou igual ao número de linhas da mesma.
- O espaço imagem de uma transformação linear é igual ao espaço coluna da matriz que a represente.
- O posto de uma transformação linear é igual ao posto coluna de qualquer matriz que a represente.
Demonstração
1. O posto coluna de uma matriz é menor ou igual ao número de linhas da mesma.
Seja uma matriz real
. Então, os vetores coluna de
formam um subconjunto do espaço euclidiano
-dimensional. Ou seja, a dimensão do espaço linha é no máximo
.
2. O espaço imagem de uma transformação linear é igual ao espaço coluna da matriz que a represente.
Seja uma transformação linear do espaço euclidiano
de dimensão
no espaço euclidiano
de dimenão
. Seja, também,
uma matriz que representa
, i.e.:
.
Daí, vemos que pertence à imagem de
se, e somente se, existe
tal que
. Ou seja,
é uma combinação linear dos vetores coluna de
, como queríamos demonstrar.
3. O posto de uma transformação linear é igual ao posto coluna de qualquer matriz que a represente.
Segue, imediatamente, da propriedade 2.
Relação entre os espaços linha e coluna
Os espaços linha e coluna de uma matriz possuem as seguintes relações:[1]
- O espaço coluna de uma matriz é igual ao espaço linha de sua transposta.
- O posto coluna de uma matriz é igual ao seu posto linha.
Observamos que a propriedade 2. justifica denotar o posto coluna e o posto linha de uma matriz por
ou
, sem referência a linha ou coluna.
Demonstração
1. O espaço coluna de uma matriz é igual ao espaço linha de sua transposta.
Com efeito, o espaço linha de uma matriz é o espaço gerado pelo conjunto de vetores que formam as linhas da mesma. Agora, as linhas da transposta de uma matriz são as colunas da matriz original, donde segue o enunciado.
2. O posto coluna de uma matriz é igual ao seu posto linha.
Por definição, o posto linha de uma matriz é a dimensão do seu espaço linha. Sejam uma matriz e
a matriz escalonada reduzida por linha de
. Então, o número de vetores coluna de
que são linearmente independentes é igual ao número de uns principais da matriz
. Mas, este é também o número de vetores linha de
que são linearmente independentes. Como
e
são matriz equivalentes por linha, temos que elas têm o mesmo posto linha. Concluímos, então, que o ponto coluna de
é igual ao seu posto linha.
Sejam os vetores coluna de uma matriz
.
Relação fundamental
Se é uma matriz
, então
. Aqui,
denota o posto de
, enquanto
denota sua nulidade.[1]
Demonstração
A nulidade de é a dimensão do espaço nulo de
, i.e., a dimensão do espaço gerado pelas soluções de
. Seja
a matriz escalonada reduzida de
. O posto de
é igual ao número de linhas não nulas de
, enquanto que a nulidade
é igual a
menos o número de linhas não nulas de
. Ou seja,
.
Posto e singularidade
Os seguintes resultados relacionam o conceito de singularidade com o posto de uma matriz quadrada:[1]
- Uma matriz quadrada
é não singular se, e somente se,
.
- O determinante de uma matriz
é não nulo se, e somente se,
.
- Um sistema linear quadrado
de ordem
tem uma única solução se, e somente se,
.
- Um conjunto de vetores coluna
de um espaço euclidiano
-dimensional é linearmente independente se, e somente se, a matriz formada
tem determinante não nulo.
Demonstração
1. Uma matriz quadrada
é não singular se, e somente se,
.
Com efeito, é não singular se, e somente se, a nulidade de
for igual a zero. O resultado segue, então da relação fundamental demonstrada acima.
2. O determinante de uma matriz
é não nulo se, e somente se,
.
Isto segue do resultados 1. demonstrado acima, uma vez que o determinante de uma matriz
é não nulo se, e somente se,
é não singular.
3. Um sistema linear quadrado de ordem
tem uma única solução se, e somente se,
.
Com efeito, um sistema linear quadrado de ordem
tem uma única solução se, e somente se,
é não singular. Portanto, este resultado segue do demonstrado no item 1. desta seção.
4. Um conjunto de vetores coluna de um espaço euclidiano
-dimensional é linearmente independente se, e somente se, a matriz formada
tem determinante não nulo.
Com efeito, uma matriz é invertível se, e somente se, suas colunas são linearmente independentes.