Independência linear

Um subconjunto ${\displaystyle S}$ de um espaço vectorial ${\displaystyle V}$ diz-se linearmente dependente se existe um subconjunto finito ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle S}$ e escalares ${\displaystyle \lambda _{v},v\in F,}$ não todos nulos, tais que ${\displaystyle \sum _{v\in F}\lambda _{v}\ v=0.}$ O subconjunto ${\displaystyle S}$ diz-se linearmente independente se para qualquer subconjunto finito ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle S}$ se tem ${\displaystyle \sum _{v\in F}\lambda _{v}\ v=0\Rightarrow \lambda _{v}=0\,,\forall v\in F.}$ ^[2][3]

Nestas situações, diz-se também que os vectores do subconjunto ${\displaystyle S}$ são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independentes (LI), respectivamente. Com base nessa definição não é difícil de concluir que um subconjunto ${\displaystyle S}$ é linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos vetores do conjunto é combinação linear dos demais.^[4]

Suponhamos que ${\displaystyle \left\{{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\ldots ,{\vec {v_{n}}}\right\}}$ é um conjunto de vectores de ${\displaystyle \mathbb {R^{m}} }$ , em que ${\displaystyle n\leq m}$ e

${\displaystyle {\vec {v_{1}}}={\begin{bmatrix}v_{11}\\v_{21}\\\vdots \\v_{m1}\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\vec {v_{2}}}={\begin{bmatrix}v_{12}\\v_{22}\\\vdots \\v_{m2}\end{bmatrix}},\ldots ,}$ ${\displaystyle {\vec {v_{n}}}={\begin{bmatrix}v_{1n}\\v_{2n}\\\vdots \\v_{mn}\end{bmatrix}}.}$

Ainda, fixemos as constantes ${\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\in \mathbb {R} }$ , tais que

${\displaystyle k_{1}{\vec {v_{1}}}+k_{2}{\vec {v_{2}}}+\ldots +k_{n}{\vec {v_{n}}}={\vec {0}}.}$

Por definição, se ${\displaystyle k_{1}=k_{2}=\ldots =k_{n}=0}$ for a única possibilidade para que a equação anterior seja verdadeira, então os vectores ${\displaystyle {\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\ldots ,{\vec {v_{n}}}}$ serão linearmente independentes. Por outro lado, se qualquer uma das constantes admitir um valor diferente de zero, então o conjunto de vectores será linearmente dependente.^[5]

Observe que podemos reescrever a equação

${\displaystyle k_{1}{\vec {v_{1}}}+k_{2}{\vec {v_{2}}}+\ldots +k_{n}{\vec {v_{n}}}={\vec {0}}}$

como

${\displaystyle k_{1}{\begin{bmatrix}v_{11}\\v_{21}\\\vdots \\v_{m1}\end{bmatrix}}+k_{2}{\begin{bmatrix}v_{12}\\v_{22}\\\vdots \\v_{m2}\end{bmatrix}}+\ldots +k_{n}{\begin{bmatrix}v_{1n}\\v_{2n}\\\vdots \\v_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.}$

Efetuando as multiplicações, teríamos

${\displaystyle {\begin{bmatrix}k_{1}v_{11}\\k_{1}v_{21}\\\vdots \\k_{1}v_{m1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}k_{2}v_{12}\\k_{2}v_{22}\\\vdots \\k_{2}v_{m2}\end{bmatrix}}+\ldots +{\begin{bmatrix}k_{n}v_{1n}\\k_{n}v_{2n}\\\vdots \\k_{n}v_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}}$

que também poderia ser representada como segue

${\displaystyle {\begin{bmatrix}v_{11}&v_{12}&\ldots &v_{1n}\\v_{21}&v_{22}&\ldots &v_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\v_{m1}&v_{m2}&\ldots &v_{mn}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}k_{1}\\k_{2}\\\vdots \\k_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.}$

Assim, temos uma equação matricial da forma ${\displaystyle M{\vec {k}}={\vec {0}}}$ , em que

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}v_{11}&v_{12}&\ldots &v_{1n}\\v_{21}&v_{22}&\ldots &v_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\v_{m1}&v_{m2}&\ldots &v_{mn}\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\vec {k}}={\begin{bmatrix}k_{1}\\k_{2}\\\vdots \\k_{n}\end{bmatrix}}}$ e ${\displaystyle {\vec {0}}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.}$

Observe que a solução trivial (${\displaystyle {\vec {k}}={\vec {0}}}$ ) é válida. Porém, é preciso descobrir se tal solução é única.^[5] Para isso, podemos resolver o sistema por meio de operações elementares nas linhas da matriz aumentada

${\displaystyle {\begin{bmatrix}v_{11}&v_{12}&\ldots &v_{1n}&0\\v_{21}&v_{22}&\ldots &v_{2n}&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\v_{m1}&v_{m2}&\ldots &v_{mn}&0\end{bmatrix}}}$

Logo, o conjunto de vectores será linearmente independente, caso o sistema linear tenha unicamente a solução trivial (todas as constantes valendo ${\displaystyle 0}$ ), ou seja, se o sistema for classificado como possível e determinado (SPD). Porém, se houverem infinitas soluções, de modo que o sistema seja classificado como possível e indeterminado (SPI), então o conjunto de vectores será linearmente dependente.^[1][6]

Sendo assim, em ${\displaystyle \mathbb {R^{m}} }$ , é possível descobrir se um conjunto de vectores é linearmente independente ou não por meio da resolução de um sistema homogêneo.^[7]

A partir de uma matriz ${\displaystyle M}$ , pode-se verificar se suas colunas são linearmente independentes. Uma forma de realizar esta verificação, é por meio de uma equação da forma

${\displaystyle M{\vec {x}}={\vec {0}},}$

a qual representa um sistema homogêneo na forma matricial, de modo que podemos definir se existem soluções não triviais para ${\displaystyle {\vec {x}}}$ . Se houverem vectores não nulos para ${\displaystyle {\vec {x}}}$ satisfazendo a equação ${\displaystyle M{\vec {x}}={\vec {0}}}$ , então segue que as colunas de ${\displaystyle M}$ são linearmente dependentes. Porém, caso a única solução seja ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {0}}}$ , então segue que as colunas de ${\displaystyle M}$ são linearmente independentes.^[8]

Em alguns casos, não é necessário utilizar os algoritmos citados anteriormente, pois apenas analisando os vectores do conjunto é possível classificá-lo como linearmente dependente. Vejamos alguns casos citados a seguir.

Qualquer conjunto de vectores que contenha o vector nulo será linearmente dependente,^[9] mesmo que tal conjunto seja unitário, isto é, mesmo que tenha apenas um vector.^[8]

Por exemplo, suponha que ${\displaystyle {\vec {u}}}$ , ${\displaystyle {\vec {v}}}$ e ${\displaystyle {\vec {w}}}$ sejam vectores não nulos de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e que ${\displaystyle k_{1}}$ , ${\displaystyle k_{2}}$ , ${\displaystyle k_{3}}$ e ${\displaystyle k_{4}}$ sejam constantes reais. Ainda, seja ${\displaystyle {\vec {0}}}$ o vector nulo de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , de modo que

${\displaystyle k_{1}{\vec {u}}+k_{2}{\vec {v}}+k_{3}{\vec {w}}+k_{4}{\vec {0}}={\vec {0}}.}$

Observe que fixando ${\displaystyle k_{1}=k_{2}=k_{3}=0}$ , podemos variar ${\displaystyle k_{4}}$ sem alterar o resultado da combinação, ou seja, as soluções para o sistema são infinitas. Generalizando esse raciocínio para uma quantidade arbitrária de vetores podemos concluir que qualquer conjunto de vectores que contenha o vector nulo é um conjunto linearmente dependente.^[9]

Conjuntos de vectores que contenham dois ou mais vectores múltiplos escalares entre si são conjuntos linearmente dependentes.^[10] Isso decorre do fato de que, se existe algum vector do conjunto que é múltiplo de outro vector, então ele pode ser expresso como combinação linear dos demais vectores.^[6]

Por exemplo, sejam ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in \mathbb {R^{2}} }$ , com ${\displaystyle {\vec {u}}=(2a_{1},2a_{2}),}$ ${\displaystyle {\vec {v}}=(a_{1},a_{2})}$ e ${\displaystyle {\vec {w}}=(3a_{1},2a_{2})}$ . Note que ${\displaystyle {\vec {u}}=2(a_{1},a_{2})=2{\vec {v}}}$ , ou seja, ${\displaystyle {\vec {u}}}$ e ${\displaystyle {\vec {v}}}$ são múltiplos e, portanto, temos a possível combinação linear ${\displaystyle {\vec {u}}=2{\vec {v}}+0{\vec {w}}}$ . Logo, o conjunto ${\displaystyle \left\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\right\}}$ é linearmente dependente.

Em um espaço vectorial de dimensão finita, se o número de vectores do conjunto a ser verificado for superior à dimensão do espaço vetorial, então o conjunto será linearmente dependente. Assim, um conjunto com ${\displaystyle n}$ vectores em ${\displaystyle \mathbb {R^{m}} }$ é linearmente dependente se ${\displaystyle n>m}$ .^[9]

De fato, seja ${\displaystyle V={\Big [}{\vec {v_{1}}}\quad {\vec {v_{2}}}\quad \ldots \quad {\vec {v_{n}}}{\Big ]}}$ uma matriz de ordem ${\displaystyle m\times n}$ , com ${\displaystyle {\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\ldots ,{\vec {v_{n}}}\in \mathbb {R^{m}} }$ e ${\displaystyle n>m}$ . Note que a equação

${\displaystyle V{\vec {x}}={\vec {0}}}$

é equivalente a um sistema de ${\displaystyle m}$ equações e ${\displaystyle n}$ incógnitas. Como ${\displaystyle n>m}$ , haverá um número superior de variáveis do que equações e, portanto, o sistema linear homogêneo terá infinitas soluções. Deste modo, a equação ${\displaystyle V{\vec {x}}={\vec {0}}}$ admite solução não trivial, caracterizando as colunas de ${\displaystyle V}$ como linearmente dependentes. Logo, os vectores ${\displaystyle {\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\ldots ,{\vec {v_{n}}}\in \mathbb {R^{m}} }$ são linearmente dependentes.^[9]

Quando o número de vectores de um subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R^{m}} }$ for igual ao número de componentes de cada vector (${\displaystyle m}$ ), é possível utilizar o determinante para definir se o conjunto de vectores é linearmente dependente ou não. ^[4]

Para realizar uma verificação a partir de um determinante, basta utilizar cada vector do conjunto como sendo uma coluna (ou linha) de uma matriz ${\displaystyle M}$ e, em seguida, calcular seu determinante. Se o resultado for igual a ${\displaystyle 0}$ , então o conjunto de vectores será linearmente dependente. Por outro lado, caso o determinante seja diferente de ${\displaystyle 0}$ , então o conjunto será linearmente independente. O conceito pode ser estendido para o caso de independência linear de colunas de matrizes quadradas.^[11]

Fixe ${\displaystyle A\subset \mathbb {R^{n}} }$ . Então, são equivalentes:^[12]

• ${\displaystyle A}$ é linearmente independente.
• O conjunto ${\displaystyle A}$ é um gerador minimal para ${\displaystyle {\textrm {Span}}\left\{A\right\}}$ . Ou seja, se ${\displaystyle B\subsetneq A}$ , então ${\displaystyle {\textrm {Span}}\left\{B\right\}\subsetneq {\textrm {Span}}\left\{A\right\}.}$
• Sempre que ${\displaystyle {\vec {v_{1}}},\ldots ,{\vec {v_{k}}}\in A}$ são distintos e ${\displaystyle \alpha _{1}{\vec {v_{1}}}+\ldots +\alpha _{k}{\vec {v_{k}}}={\vec {0}}}$ , então ${\displaystyle \alpha _{1}=\ldots =\alpha _{k}=0.}$
• Toda combinação linear de elementos de ${\displaystyle A}$ é única, no sentido de que se ${\displaystyle {\vec {v_{1}}},\ldots ,{\vec {v_{k}}}\in A}$ são distintos, então

${\displaystyle \alpha _{1}{\vec {v_{1}}}+\ldots +\alpha _{k}{\vec {v_{k}}}=\beta _{1}{\vec {v_{1}}}+\ldots +\beta _{k}{\vec {v_{k}}}}$

implica que ${\displaystyle \alpha _{1}=\beta _{1},\ldots ,\alpha _{k}=\beta _{k}.}$

• Toda combinação linear de elementos de ${\displaystyle A}$ é única, no sentido de que se

${\displaystyle {\vec {v}}=\alpha _{1}{\vec {v_{1}}}+\ldots +\alpha _{k}{\vec {v_{k}}},}$

e

${\displaystyle {\vec {v}}=\beta _{1}{\vec {w_{1}}}+\ldots +\beta _{m}{\vec {w_{m}}},}$

com todos os ${\displaystyle {\vec {v_{1}}},\ldots ,{\vec {v_{k}}}\in A}$ distintos entre si, todos os ${\displaystyle {\vec {w_{1}}},\ldots ,{\vec {w_{m}}}\in A}$ distintos entre si, e com todos os ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}}$ e ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{m}}$ não nulos, então ${\displaystyle k=m}$ , e os índices de ${\displaystyle \beta _{j}}$ e ${\displaystyle {\vec {w_{j}}}}$ podem ser rearranjados de modo que

${\displaystyle {\begin{array}{c c c}{\vec {v_{1}}}={\vec {w_{1}}}&\;{\textrm {e}}&\;\alpha _{1}=\beta _{1}\\&\vdots \\{\vec {v_{k}}}={\vec {w_{k}}}&\;{\textrm {e}}&\;\alpha _{k}=\beta _{k}.\\\end{array}}}$

• Se ${\displaystyle \beta =\left\{{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\ldots ,{\vec {v_{n}}}\right\}}$ for uma base de um espaço vectorial ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle \alpha =\left\{{\vec {u_{1}}},{\vec {u_{2}}},\ldots ,{\vec {u_{p}}}\right\}}$ for um conjunto de vectores em ${\displaystyle V}$ , tal que ${\displaystyle p>n}$ , então o conjunto ${\displaystyle \alpha }$ é linearmente dependente.^[7]

De fato, como o conjunto ${\displaystyle \beta }$ forma uma base para o espaço vectorial ${\displaystyle V}$ , segue que os vectores de ${\displaystyle \beta }$ são linearmente independentes.^[13] Ainda, o número de vectores do conjunto ${\displaystyle \beta }$ é igual à dimensão de ${\displaystyle V}$ . Logo, se ${\displaystyle \alpha }$ é um conjunto do espaço vectorial ${\displaystyle V}$ , sendo que o número de vectores de ${\displaystyle \alpha }$ é maior que o número de vectores de ${\displaystyle \beta }$ , segue que o número de vectores do conjunto ${\displaystyle \alpha }$ será maior que a dimensão de ${\displaystyle V}$ , de modo que tal conjunto será linearmente dependente.^[9]

• Seja ${\displaystyle S=\left\{v_{1},\ldots ,v_{j}\right\}}$ um conjunto de dois ou mais vectores. Dizemos que ${\displaystyle S}$ é linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos vectores de ${\displaystyle S}$ for combinação linear dos demais.^[14]

Demonstração:

Vamos mostrar que se pelo menos um dos vectores de ${\displaystyle S}$ for combinação linear dos demais vectores, então ${\displaystyle S}$ é linearmente dependente.

De fato, se ${\displaystyle {\vec {v_{j}}}}$ for uma combinação linear dos outros vectores de ${\displaystyle S}$ , então podemos reordenar os vectores do conjunto, escrevendo ${\displaystyle {\vec {v_{j}}}}$ como

${\displaystyle {\vec {v_{j}}}=k_{1}{\vec {v_{1}}}+\ldots +k_{j-1}{\vec {v_{j-1}}}}$

em que ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{j-1}}$ são constantes que tornam a equação anterior válida. Perceba que é possível subtrair ${\displaystyle {\vec {v_{j}}}}$ em ambos os lados da equação

${\displaystyle {\vec {v_{j}}}-{\vec {v_{j}}}=k_{1}{\vec {v_{1}}}+\ldots +k_{j-1}{\vec {v_{j-1}}}-{\vec {v_{j}}}}$

e assim

${\displaystyle {\vec {0}}=k_{1}{\vec {v_{1}}}+\ldots +k_{j-1}{\vec {v_{j-1}}}-{\vec {v_{j}}}}$

ou seja,

${\displaystyle {\vec {0}}=k_{1}{\vec {v_{1}}}+\ldots +k_{j-1}{\vec {v_{j-1}}}+(-1){\vec {v_{j}}}.}$

Como a equação anterior admite uma constante não nula, ou seja, como a equação

${\displaystyle k_{1}{\vec {v_{1}}}+\ldots +k_{j-1}{\vec {v_{j-1}}}+k_{j}{\vec {v_{j}}}={\vec {0}}}$

possui uma solução não trivial, segue pela definição que o conjunto ${\displaystyle S}$ é linearmente dependente.

Agora, vamos verificar que se ${\displaystyle S}$ é linearmente dependente, então pelo menos um dos vectores de ${\displaystyle S}$ será combinação linear dos demais.

Caso ${\displaystyle {\vec {v_{1}}}={\vec {0}}}$ , então a equação

${\displaystyle {\vec {v_{1}}}=k_{2}{\vec {v_{2}}}+\ldots +k_{j}{\vec {v_{j}}}}$

admite como solução ${\displaystyle k_{2}=\ldots =k_{j}=0}$ e, portanto, ao menos um dos vectores de ${\displaystyle S}$ pode ser representado como combinação linear dos demais.

Porém, se ${\displaystyle {\vec {v_{1}}}\neq {\vec {0}}}$ , então como ${\displaystyle S}$ é linearmente dependente, existem constantes ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{j}}$ , não todas nulas que satisfazem

${\displaystyle k_{1}{\vec {v_{1}}}+\ldots +k_{j}{\vec {v_{j}}}={\vec {0}}.}$

Suponha que ${\displaystyle i}$ seja o maior índice para o qual ${\displaystyle k_{i}\neq 0}$ . Observe que se ${\displaystyle i=1}$ e ${\displaystyle {\vec {v_{1}}}\neq {\vec {0}}}$ , teríamos um resultado inválido, pois ${\displaystyle {\vec {v_{1}}}={\vec {0}}}$ seria impossível. Logo ${\displaystyle i>1}$ e, assim,

${\displaystyle k_{1}{\vec {v_{1}}}+\ldots +k_{i}{\vec {v_{i}}}+0{\vec {v_{i+1}}}+\ldots +0{\vec {v_{j}}}={\vec {0}}}$

${\displaystyle \Rightarrow k_{1}{\vec {v_{1}}}+\ldots +k_{i}{\vec {v_{i}}}={\vec {0}}}$

${\displaystyle \Rightarrow k_{i}{\vec {v_{i}}}=-k_{1}{\vec {v_{1}}}-\ldots -k_{i-1}{\vec {v_{i-1}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\vec {v_{i}}}={\Big (}-{\frac {k_{1}}{k_{i}}}{\Big )}{\vec {v_{1}}}+\ldots +{\Big (}-{\frac {k_{i-1}}{k_{i}}}{\Big )}{\vec {v_{i-1}}}}$

ou ainda,

${\displaystyle {\vec {v_{i}}}={\Big (}-{\frac {k_{1}}{k_{i}}}{\Big )}{\vec {v_{1}}}+\ldots +{\Big (}-{\frac {k_{i-1}}{k_{i}}}{\Big )}{\vec {v_{i-1}}}+0{\vec {v_{i+1}}}+\ldots +0{\vec {v_{j}}}}$

o que comprova que ao menos um vector do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos demais.^[15]

• O conjunto vazio é linearmente independente.^[16]
• Um conjunto unitário cujo único elemento não é o vector nulo, é linearmente independente.^[17]
• Dois vectores de um plano são linearmente dependentes se e só se um for múltiplo do outro (isto é, se são colineares).^[14]
• Em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ :
  • O conjunto {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} é linearmente independente.^[7]
  • O conjunto {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} é linearmente independente.^[6]
  • Qualquer subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ com mais de três vectores é linearmente dependente.^[9]
  • Três vectores não nulos e não colineares são linearmente dependentes se estiverem contidos em um mesmo plano.^[18]
  • Três vectores são linearmente dependentes se, e somente se, o determinante da matriz em que cada vector está disposto em uma linha (ou coluna) for igual a zero.

• Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
• Noble, Ben; James W. Daniel (1986). Álgebra Linear Aplicada. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil. ISBN 9788570540225  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)

• Base
• Wronskiano#Wronskiano e independência linear

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