uma teoria de homologia que associa a cada espaço topológico uma sequência de grupos abelianos, e a cada aplicação contínua entre dois dados espaços topológicos, uma sequência de homomorfismos induzidos
Em matemática, a homologia singular é uma teoria de homologia que associa a cada espaço topológico uma sequência de grupos abelianos , e a cada aplicação contínua , entre dois dados espaços topológicos, uma sequência de homomorfismos induzidos .
Assim como toda homologia, a homologia singular é um funtor covariante entre a categoria dos espaços topológicos e aplicações contínuas e a categoria dos grupos graduados em e os homomorfismos de grupos graduados em . É conveniente também, dado um espaço topológico e um subespaço , definir a homologia singular relativa.
Definições associadas
Seja um espaço topológico, o simplexo padrão p-dimensional, isto é;
Note que, , a base canônica do também é o conjunto dos pontos extremais do convexo .
Definimos um p-simplexo singular de como uma aplicação contínua
.
Definimos para o p-ésimo grupo singular de , , como sendo o grupo abeliano livre gerado pelos p-simplexos singulares de .Note que podemos definir também agindo sobre . Podemos escrever um elemento qualquer de como , onde os 's são p-simplexos singulares de , e os 's são inteiros não-nulos. Definimos por .
Portanto, está bem definida.
Seja . Chamamos de de grupo dos p-ciclos singulares de X, que será denotado por . De forma análoga, diremos que é o grupo dos p-bordos singulares de X, que será denotado por . É fácil mostrar que , e que portanto, define um complexo de cadeias, a que chamaremos de complexo de cadeias singulares associado ao espaço topológicoPor definição, o p-ésimo grupo de Homologia de é grupo .