Em álgebra linear, a identidade de polarização expressa um produto interno de um espaço normado em função de sua norma. Se uma norma surge de um produto interno, então a identidade de polarização pode ser usada para expressar esse produto interno inteiramente em termos da norma.
Vetores envolvidos na identidade de polarização.
A norma gerada por um produto interno, satisfaz a lei do paralelogramo: . De fato, como observado por John von Neumann,[1] a lei do paralelogramo caracteriza as normas que surgem de produtos internos. Explicitamente, se é um espaço normado, então:[2][3]
A lei do paralelogramo vale para norma se e somente se existe um produto interno em tal que para todo
Com a identidade de polarização a relação é invertida: é possível obter um produto interno de uma norma.Todo produto interno satisfaz:
Espaços vetoriais reais
Se o espaço vetorial é sobre os números reais, então as identidades de polarização são definidas por:
Essas formas são todas equivalentes por conta da lei do paralelogramo:[prova 1]
Espaços vetoriais complexos
Para o espaço vetorial complexo, as identidades de polarização devem considerar a parte imaginária do produto interno. A parte complexa do produto interno depende se é antilinear no primeiro ou no segundo argumento. A notação que é comumente usada em física será assumida como antilinear no primeiro argumento enquanto que é comumente usado em matemática, será considerada antilinear no segundo argumento. Elas estão relacionados pela fórmula:
A parte real de qualquer produto interno (independente de qual argumento é antilinear ou se é real ou complexo) é uma função bilinear simétrica que para qualquer é sempre igual a:[4]
Portanto se denota as partes real e imaginária de um produto interno no ponto do seu domínio, então sua parte imaginária será:
em que o escalar está sempre localizado no mesmo argumento que o produto interno é antilinear.
Reconstruindo o produto interno
Seja um espaço normado que satisfaz a lei do paralelogramo:
então existe um único produto interno em tal que para todo [4][1]
Outra condição necessária e suficiente para existir um produto interno que induz uma norma dada é que a norma satisfaça a desigualdade de Ptolomeu:[6]
Aplicações e consequências
Se é um espaço de Hilbert complexo, então é real se, e somente se, sua parte complexa é o que acontece se, e somente se, Similarmente, é imaginário puro se, e somente se, Por exemplo, de conclui-se que é real e que é imaginário puro.
Isometrias
Se é uma isometria linear entre dois espaços de Hilbert (logo para todo ), então
ou seja, isometrias linear preservam o produto interno.
Se é uma isometria antilinear, então
Relação com a lei dos cossenos
A segunda forma da identidade de polarização pode ser escrita como:
Essencialmente, essa é uma forma vetorial da lei dos cossenos para o triângulo formado pelos vetores , e . Em particular,
em que é o ângulo entre os vetores e .
Dedução
A relação básica entre a norma e o produto escalar é dada pela equação:
então,
similarmente,
As formas (1) e (2) da identidade de polarização são obtidas resolvendo essas equações para u · v, enquanto a forma (3) é obtida subtraindo essas duas equações (somando-as obtém-se a lei do paralelogramo).