Identidades logarítmicas

Logaritmos podem ser usados para realizar-se cálculos mais facilmente. Por exemplo, dois números podem ser multiplicados apenas usando-se uma tábua de logaritmos e adição.

Tipo de operação	identidade	Justificativa	Observação
Produto	${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$	${\displaystyle b^{c}\cdot b^{d}=b^{c+d}}$
Divisão	${\displaystyle \log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$	${\displaystyle b^{c-d}={\tfrac {b^{c}}{b^{d}}}}$	${\displaystyle \log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)\neq {\frac {\log _{b}{x}}{\log _{b}{y}}}}$ . Por exemplo, ${\displaystyle \log _{10}\!\left({\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\end{matrix}}\right)\cong -0,17}$ , o que não é igual a ${\displaystyle {\frac {\log _{10}{2}}{\log _{10}{3}}}\cong {\frac {0,3010}{0,4771}}\cong 0,63}$
Exponenciação	${\displaystyle \log _{b}(x^{d})=d\log _{b}(x)}$	${\displaystyle (b^{c})^{d}=b^{cd}}$	${\displaystyle \log _{b}(x^{d})\neq \left[\log _{b}(x)\right]^{d}=\log _{b}^{d}(x)}$ . Por exemplo, ${\displaystyle \log _{10}(2^{3})\cong 0,90}$ , o que não é igual a ${\displaystyle \left[\log _{10}(2)\right]^{3}\cong 0,027}$
Radiciação	${\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}}$
Exponenciação	${\displaystyle x^{\log _{b}(y)}=y^{\log _{b}(x)}}$	${\displaystyle x^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(y)\log _{b}(x)}=y^{\log _{b}(x)}}$
Produto e exponenciação	${\displaystyle c\log _{b}(x)+d\log _{b}(y)=\log _{b}(x^{c}y^{d})}$	${\displaystyle \log _{b}(x^{c}y^{d})=\log _{b}(x^{c})+\log _{b}(y^{d})}$

Onde ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle x,}$ e ${\displaystyle y}$ são números reais positivos e ${\displaystyle b\neq 1.}$ Tanto ${\displaystyle c}$ quanto ${\displaystyle d}$ são números reais.

${\displaystyle \log _{b}(1)=0}$	porque	${\displaystyle b^{0}=1}$
${\displaystyle \log _{b}(b)=1}$	porque	${\displaystyle b^{1}=b}$

Note-se que ${\displaystyle \log _{b}(0)}$ é indefinido porque não existe qualquer número ${\displaystyle x}$ tal que ${\displaystyle b^{x}=0.}$ De fato, existe uma assímptota vertical no gráfico de ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ quando ${\displaystyle x=0.}$

Logaritmos e exponenciais (antilogaritmos) com a mesma base cancelam-se um ao outro. Isto é verdadeiro porque logaritmos e exponenciais são operações inversas (assim como multiplicação e divisão).

${\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x}$	porque	${\displaystyle \mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x}$
${\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x}$	porque	${\displaystyle \log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x}$

${\displaystyle \log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}}$

Esta identidade é necessária para obter-se logaritmos em calculadoras. Por exemplo, a maioria das calculadoras tem teclas para ln e para log₁₀, mas não para log₂. Para encontrar-se log₂(3), deve-se calcular log₁₀(3) / log₁₀(2) (ou ln(3)/ln(2), os quais resultam o mesmo resultado).

Considerando-se ${\displaystyle y=\log _{a}b.}$

Então ${\displaystyle a^{y}=b.}$

Tomando-se ${\displaystyle \log _{c}}$ em ambos os lados: ${\displaystyle \log _{c}a^{y}=\log _{c}b}$

Simplificando e resolvendo para ${\displaystyle y:}$ ${\displaystyle y\log _{c}a=\log _{c}b}$

${\displaystyle y={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}}$

Dado que ${\displaystyle y=\log _{a}b,}$ então ${\displaystyle \log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}}$

Esta fórmula tem algumas consequências:

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}$

${\displaystyle \log _{a^{n}}b={{\log _{a}b} \over n}}$

${\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}}$

${\displaystyle -\log _{a}b=\log _{a}\left({1 \over b}\right)=\log _{1 \over a}b}$

${\displaystyle \log _{a_{1}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{n}}b_{n}=\log _{a_{\pi (1)}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{\pi (n)}}b_{n},}$

onde ${\displaystyle \scriptstyle \pi }$ é qualquer permutação dos subscritos 1, …, n. Por exemplo

${\displaystyle \log _{a}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{c}y\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z.}$

A seguinte regra de soma/subtração é especialmente útil em teoria da probabilidade quando se trata de uma soma de log-probabilidades:

${\displaystyle \log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}(1+b^{\log _{b}c-\log _{b}a})}$

${\displaystyle \log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}(1-b^{\log _{b}c-\log _{b}a})}$

a qual resulta nos casos especiais:

${\displaystyle \log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}(1+{\frac {c}{a}})}$

${\displaystyle \log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}(1-{\frac {c}{a}})}$

Note-se que na prática ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle c}$ tem que ser ligados no lado direito das equações se ${\displaystyle c>a.}$ Observe-se também que a identidade de subtração não está definida se ${\displaystyle a=c}$ uma vez que o logaritmo de zero não é definido.

Mais genericamente:

${\displaystyle \log _{b}\sum \limits _{i=0}^{N}{a_{i}}=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}{b^{\left(\log _{b}a_{i}-\log _{b}a_{0}\right)}}\right)}$

onde ${\displaystyle a_{0},\cdots ,a_{N}>0.}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{se }}a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{se }}a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0}$

O último limite é muitas vezes resumido como "logaritmos crescem mais lentamente do que qualquer potência ou raiz de x".

${\displaystyle {d \over dx}\log _{b}x={1 \over x\ln b},\qquad b>0,b\neq 1}$

${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x\ln e}={1 \over x},\qquad x>0}$

${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}$

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}$

Para lembrar integrais mais altas, é conveniente definir:

${\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})}$

${\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}$

${\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}$

${\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}$

${\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}}$

Então,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}}$

${\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}$

As identidades de logaritmos pode ser usadas para aproximar grandes números. Note-se que log_b(a) + log_b(c) = log_b(a*c), onde a, b, e c são constantes arbitrárias. Supondo-se que quer se aproximat o 44° primo de Mersenne, 2^32.582.657 - 1. Para obter-se o logaritmo de base 10, nós devemos miultiplicar 32.582.657 por log₁₀(2), tomando 9.808.357,09543 = 9.808.357 + 0,09543. Podemos então tomar 10^9.808.357 * 10^0,09543 ≈ 1,25 * 10^9.808.357.

Similarmente, fatoriais podem ser aproximados por somar-se os logaritmos dos termos.

O logaritmo complexo é o análogo em números complexos da função logaritmo. Nenhuma função no plano complexo pode satisfazer as regras normais para logaritmos. Entretanto uma função multivalorada pode ser definida a qual satisfaça a maioria das identidades. É comum considerar-se esta como uma função definida em um superfície de Riemann. A única versão valorada chamada valor principal do logaritmo pode ser definida a qual é descontínua no eixo x negativo e é igual a versão de vários valores em um único ramo de corte

A convenção usada aqui será que a primeira letra em maiúscula é usada para o valor principal das funções e a versão minúscula refere-se à função de valor multivalorada. A única versão valorada de definições e identidades é sempre dada primeiro, seguida por uma seção separada para as várias versões valoradas.

ln(r) é o padrão logaritmo natural do número real r.

Log(z) é o valor principal da função logaritmo complexo e tem parte imaginária no intervalo (-π, π].

Arg(z) é o valor principal da função arg, seu valor é restrito a (-π, π]. Pode ser computado usando-se Arg(x+iy)= atan2(y, x).

${\displaystyle \operatorname {Log} (z)=\ln(|z|)+i\operatorname {Arg} (z)}$

${\displaystyle e^{\operatorname {Log} (z)}=z}$

A versão valorada múltipla de log(z) é um conjunto, mas é mais fácil escrevê-lo sem barras e usá-lo em fórmulas seguindo regras óbvias.

log(z) é o conjunto dos números complexos v os quais satisfazem e^v = z

arg(z) é o conjunto dos valores possíveis da função arg aplicada a z.

Quando k é qualquer inteiro:

${\displaystyle \operatorname {Log} (z)=\ln(|z|)+i\operatorname {Arg} (z)}$

${\displaystyle \log(z)=\operatorname {Log} (z)+2\pi ik}$

${\displaystyle e^{\log(z)}=z}$

Principais formas de valoração:

${\displaystyle \operatorname {Log} (1)=0}$

${\displaystyle \operatorname {Log} (e)=1}$

Formas de valoração múltipla, para qualquer k inteiro:

${\displaystyle \log(1)=0+2\pi ik}$

${\displaystyle \log(e)=1+2\pi ik}$

Principais formas de valoração:

${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})+\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}z_{2}){\pmod {2\pi i}}}$

${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})-\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}/z_{2}){\pmod {2\pi i}}}$

Formas de valoração múltipla:

${\displaystyle \log(z_{1})+\log(z_{2})=\log(z_{1}z_{2})}$

${\displaystyle \log(z_{1})-\log(z_{2})=\log(z_{1}/z_{2})}$

Um potência complexa de um número complexo pode ter muitos valores possíveis.

Principais formas de valoração:

${\displaystyle {z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})}}$

${\displaystyle \operatorname {Log} {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1}){\pmod {2\pi i}}}$

Formas de valoração múltipla:

${\displaystyle {z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\log(z_{1})}}$

Onde k₁, k₂ são quaisquer inteiros:

${\displaystyle \log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\log(z_{1})+2\pi ik_{2}}$

${\displaystyle \log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})+z_{2}2\pi ik_{1}+2\pi ik_{2}}$

• Logarithm in Mathwords