استقلال خطی

مجموعهٔ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ را مستقل خطی می‌نامیم اگر تنها جواب معادلهٔ ${\displaystyle c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n}=0}$ جواب بدیهی ${\displaystyle c_{1}=\cdots =c_{n}=0}$ باشد.^[۲]

در غیر این صورت به این مجموعه وابسته خطی می‌گوییم.^[۳] به عبارتی دیگر اگر معادلهٔ ${\displaystyle c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n}=0}$ یک جواب غیربدیهی ${\displaystyle \exists c_{i}\neq 0}$ داشته باشد وابسته خطی است. در این صورت به معادلهٔ مذکور رابطهٔ وابستگی خطی می‌گوییم.^[۲] از این رابطه می‌توان هر بردار را بر حسب بردارهای دیگر به دست آورد: ${\displaystyle v_{n}=(c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n-1}v_{n-1})/c_{n}}$

از این رابطه نتیجه می‌گیریم یکی از بردارها در اسپن بقیه بردارها وجود دارد: ${\displaystyle v_{n}\in \operatorname {Span} \{v_{1},\cdots ,v_{n-1}\}}$ یا

${\displaystyle v_{n}\in \operatorname {Span} ({\mathcal {B}}\backslash \{v_{n}\})}$

نتایج و قضایا

یک مجموعهٔ یک‌عضوی بردار ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{v\}}$ را مستقل خطی می‌گوییم اگر و تنها اگر ناصفر باشد ${\displaystyle v\neq 0}$ .

یک مجموعهٔ دوعضوی بردارها ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{v_{1},v_{2}\}}$ را مستقل خطی می‌گوییم اگر و تنها اگر مضرب یکدیگر نباشند ${\displaystyle v_{1}\neq cv_{2}}$ .

هر مجموعه‌ای شامل بردار صفر ${\displaystyle 0\in {\mathcal {B}}}$ وابستهٔ خطی است.

مجموعهٔ بردارهای ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{v_{1},\cdots ,v_{n}\}}$ با بیش از یک عضو وابستهٔ خطی است اگر و تنها اگر اندیسی مانند ${\displaystyle k}$ وجود داشته باشد که بردار ${\displaystyle v_{k}}$ با آن اندیس را بتوان به صورت ترکیب خطی ${\displaystyle v_{k}=c_{1}v_{1}+\cdots +c_{k-1}v_{k-1}}$ از بردارهای با اندیس قبل از آن بیان کرد ${\displaystyle v_{k}\in \operatorname {Span} \{v_{1},\cdots ,v_{k-1}\}}$ .^[۲]

طبق تعریف مذکور اگر فضای برداری را مجموعهٔ تمام توابع فرض کنیم به تعریف استقلال خطی توابع می‌رسیم:

اگر بتوان مجموعهٔ ضرایبی مانند ${\displaystyle \{b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}\}\neq \{0\}}$ برای مجموعهٔ توابع ${\displaystyle F=\{f_{1}(x),\cdots ,f_{n}(x)\}}$ پیدا کرد که ${\displaystyle b_{1}f_{1}+b_{2}f_{2}+\cdots +b_{n}f_{n}=0}$ باشد (در یک دامنهٔ مشترک و پیوسته از آنها) در آن صورت مجموعهٔ توابع ${\displaystyle F=\{f_{1}(x),\cdots ,f_{n}(x)\}}$ مستقل خطی نیستند. در غیر این صورت ${\displaystyle F}$ را مستقل خطی می‌نامیم.^[۴]

استفاده از یک قضیه

اگر توابع ${\displaystyle F=\{f_{1}(x),\cdots ,f_{n}(x)\}}$ (در یک دامنهٔ مشترک و پیوسته از آنها) همگی دارای مشتق تا مرتبهٔ ${\displaystyle n-1}$ اُم باشند و همچنین اگر ${\displaystyle W[f_{1},\cdots ,f_{n}](x)}$ رونسکین این توابع باشد، این قضیه بیان می‌کند که:

توابع ${\displaystyle F}$ مستقل خطی اند اگر و تنها اگر بتوان یک ${\displaystyle x_{0}}$ پیدا کرد که ${\displaystyle W[f_{1},\cdots ,f_{n}](x_{0})\neq 0}$ .^[۴][۵]

این مفهوم در موارد زیر کاربرد دارد:

• تعیین خطی بودن یک مجموعه بردارها-
• تعیین رتبه ماتریس
• بررسی ابعاد فضاهای بردار
• طراحی و تحلیل سیستم‌های خطی در مهندسی

• فضای برداری
• زیرفضای خطی
• پوشش خطی (اسپن)
• پایه‌های فضا
• بعد (فضای برداری)

• مقدمه‌ای بر ریاضیات کاربردی (انگلیسی)