Teorema de Erdős–Kac

Teorema de Erdős–Kac em teoria dos números, assim nomeado por ter sido provado pelos matemáticos Paul Erdős e Mark Kac,^[1] também conhecido como o teorema fundamental da teoria probabilística dos números, diz que se ω(n) é o número de fatores primos distintos de n, então, dizendo livremente, a distribuição de probabilidade de

${\displaystyle {\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n}}}}$

é a distribuição normal padrão. Esta é um extensão mais aprofundada das ideias do Teorema de Hardy–Ramanujan, que diz que a ordem da função aritmética ω(n) é log log n com um típico erro de tamanho ${\displaystyle {\sqrt {\log \log n}}}$.^[2]

Mais precisamente, para algum número a < b,

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{x}}\cdot \#\left\{n\leq x:a\leq {\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n}}}\leq b\right\}\right)=\Phi (a,b)}$

onde ${\displaystyle \Phi (a,b)}$ é a distribuição normal (ou "Gaussiana"), definida como

${\displaystyle \Phi (a,b)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-t^{2}/2}\,dt.}$

Enunciando de modo heurístico, Erdős e Kac provaram que se n é um inteiro suficientemente grande escolhido aleatoriamente, então o número de fatores primos distintos de n tem aproximadamente a distribuição normal com média e variancia log log n.

Isto significa que a construção de um número em torno de um bilhão requer em média uma base de três fatores primos.^[3]

Por exemplo 1,000,000,003 = 23 × 307 × 141623.

Em torno de 12.6% dos números de 10000 dígitos são construídos numa base de 10 fatores primos distintos e em torno de 68% (±σ) são construídos numa base entre 7 e 13 fatores primos distintos.

Se uma esfera oca com o tamanho do planeta Terra fosse preenchida com areia fina, teria por volta de 10³³ grãos. Um volume do tamanho do Universo observável teria em torno de 10⁹³ grãos de areia. Não pode haver espaço para 10¹⁸⁵ cordas quânticas em tal universo.

Números desta magnitude — com 186 dígitos — requerem em média 6 fatores primos para construção.