Na matemática, os testes de convergência são métodos para confirmar e testar a convergência, convergência condicional, convergência absoluta, intervalo de convergência ou divergência de uma série infinita
.
Se o limite da soma for indefinido ou diferente de zero, isso é
, então a série deve divergir. Nesse sentido, as somas parciais são de Cauchy apenas se esse limite existir e for igual a zero. O teste é inconclusivo se o limite da soma for zero.
Isso também é conhecido como critério de D'Alembert .
- Suponha que existe
de tal modo que![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ad76fc956e34f6874910716e5da1e58587e2e6)
- Se r <1, a série é absolutamente convergente. Se r > 1, então a série diverge. Se r = 1, o teste de razão é inconclusivo e as séries podem convergir.
Este teste também é conhecido como o n-ésimo teste de raiz ou critério de Cauchy.
- Seja:
![{\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ec31fb14ea99381af3e9507f8d415088f39a51)
- Onde
denota o limite superior (possivelmente
; se o limite existe, é o mesmo valor). - Se r <1, a série converge. Se r > 1, então a série diverge. Se r = 1, o teste de raiz é inconclusivo e a série pode convergir ou divergir.
O teste de raiz é mais forte do que o teste de razão uma vez que sempre que o teste de razão determina a convergência ou divergência de uma série infinita, o teste de raiz também, mas não o contrário.[1]
Por exemplo, para a série
- 1 + 1 + 0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,125 + 0,125 + ... = 4
Vemos que a convergência decorre do teste de raiz, mas não do teste de razão.
A série pode ser comparada a uma integral para estabelecer convergência ou divergência. Considerando
sendo uma função não negativa e monotonicamente decrescente, de modo que
.
- E se
![{\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80e34bb1af714fbd0298ed8e956e226d2956f09)
- então a série converge. De maneira análoga, se a integral diverge, a série também diverge.
- Em outras palavras, a série
converge se e somente se a integral convergir.
Se a série
é uma série absolutamente convergente e
para n suficientemente grande, então a série
converge absolutamente.
Se
, (ou seja, cada elemento das duas sequências é positivo) e o limite
existe, é finito e diferente de zero, então
diverge se e somente se
diverge.
Seja
uma sequência positiva não crescente. Então a soma
converge se e somente se a soma
converge. Além disso, se eles convergirem, então
é válida.
Suponha que as seguintes afirmações sejam verdadeiras:
é uma série convergente,
é uma sequência monotônica, e
é limitado.
Então
também é convergente.
Esse teste também é conhecido como o critério de Leibniz.
Suponha que os seguintes postulados:
,- para cada n,
![{\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02713e1514bdb8004c9c47d119dafbb2d0499179)
Então
e
são séries convergentes.
- Para alguns tipos específicos de séries, existem testes de convergência mais especializados e adequados, como por exemplo, para as séries de Fourier, existe o teste de Dini .
Considere a série
![{\displaystyle (*)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d30a4736256d496a59a35e009eaf54433ff1af)
O teste de condensação de Cauchy implica que (*) é finitamente convergente se
![{\displaystyle (**)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/146900797db3650c60dfe6d7bc3418b9a1bda91c)
é finitamente convergente. Uma vez que
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04817a0775f3c256b12b88bb6f8bd7992f1e3529)
(**) é uma série geométrica com razão
. (**) é finitamente convergente se sua proporção for menor que um (a saber
) Assim, (*) é finitamente convergente se e somente se
.
Embora a maioria dos testes lide com a convergência de séries infinitas, eles também podem ser usados para mostrar a convergência ou divergência de produtos infinitos. Isso pode ser alcançado usando o seguinte teorema: Considere
como uma sequência de números positivos. Então o produto infinito
converge se e somente se a série
converge. Da mesma forma, se
é válida então
aproxima-se de um limite diferente de zero se e somente se a série
converge.
Isso pode ser provado tomando o logaritmo do produto e usando o teste de comparação no limite.[2]
Referências
Notas
- Leithold, Louis (1972). The Calculus, with Analytic Geometry. Harper & Row 2nd ed. New York: [s.n.] pp. 655–737. ISBN 0-06-043959-9