Valor absoluto (álgebra)

Um valor absoluto em um corpo algébrico K qualquer é uma função |.| que associa a cada elemento x de K um número real não-negativo ^{[Nota 1]} e que satisfaz os seguintes axiomas:^{[1][2][3][Nota 2][4]}

1. ${\displaystyle |x|=0\iff x=0\,}$
2. ${\displaystyle |x\ y|=|x|\ |y|\,}$
3. ${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|\,}$ (desigualdade triangular)

O valor absoluto define um homomorfismo entre o grupo multiplicativo K^x (K sem o elemento zero) e o grupo multiplicativo dos números reais positivos. Como corolário, |1| = 1.^[1]

O valor absoluto em um corpo K permite definir uma métrica em K, via d(x, y) = |x - y|, tornando K um corpo topológico, ou seja, as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão são funções contínuas.^[2][1]

Deve-se notar, também, que a função ${\displaystyle |.|:K\to \mathbb {R} \,}$ é contínua.^[1]

De forma equivalente, uma valoração pode definir uma base para uma topologia em K, esta base é indexada pelos elementos x₀ de K e os números reais positivos ε, e são os conjuntos dos x tais que |x - x₀| < ε.^{[3][Nota 3]} Esta topologia é Hausdorff.^[3]

Em ${\displaystyle \mathbb {Q} \,}$ (conjunto dos números racionais), é imediato verificar que a função modular usual é um valor absoluto.^[4] Para qualquer K que seja subcorpo de ${\displaystyle \mathbb {C} \,}$ , o valor absoluto em ${\displaystyle \mathbb {C} \,}$ pode ser usado como valor absoluto.^[1]

Se |.| é um valor absoluto, e ρ é um número real qualquer no intervalo (0, 1), é possível verificar que a função |.|^ρ também é um valor absoluto. As propriedades (1) e (2) são imediatas, sendo necessário algum esforço para demonstrar a desigualdade triangular.^[1]

A função |x| = 1 para todo x ≠ 0 é um valor absoluto. Este é chamado valor absoluto trivial.^[1][3][2] O valor absoluto trivial induz, no corpo topológico K, a topologia discreta.^[3][2]

O exemplo mais importante de valor absoluto é o valor absoluto p-ádico.^[2] Este valor absoluto, representado por |.|_p, se caracteriza pelas seguintes propriedades:

${\displaystyle |p^{n}|_{p}={\frac {1}{p^{n}}}\,}$ para n inteiro ^{[1][7][Nota 4][8][4]}

${\displaystyle |{\frac {m}{n}}|_{p}=1\,}$ para todos números m e n relativamente primos com p ^[4]

O axioma de Arquimedes para os números reais é que ${\displaystyle \mathbb {N} \,}$ não é um conjunto limitado superiormente. Por causa disto, um valor absoluto |.| em que os números naturais são limitados é chamado de não-arquimediano.^[2]

Existem várias definições do que seja um valor absoluto arquimediano e um valor absoluto não-arquimediano:^{[Nota 5]}

1. Um valor absoluto é arquimediano quando o conjunto de números reais ${\displaystyle \{|n|\ |\ n\in \mathbb {N} \}\,}$ é ilimitado^[1]
2. Um valor absoluto é não-arquimediano quando vale a desigualdade triangular forte: |x + y| ≤ max(|x|, |y|)^[2]
3. Um valor absoluto é não-arquimediano quando |x| ≤ 1 implica |1 + x| ≤ 1^[3]

Dois valores absolutos |.|₁ e |.|₂ são equivalentes (escreve-se |.|₁ ~ |.|₂) quando eles são essencialmente a mesma função. Por exemplo, pode-se definir que |.|₁ e |.|₂ são equivalentes quando uma sequência converge para zero segundo |.|₁ se, e somente se, ela converge para zero segundo |.|₂^[1]

Prova-se que as seguintes propriedades são equivalentes para dois valores absolutos |.|₁ e |.|₂:^[1]

1. |.|₁ ~ |.|₂
2. Existe ρ > 0, real, tal que |.|₂ = |.|₁^ρ
3. No caso de |.|₁ não ser o valor absoluto trivial, para todo a em K, |a|₁ < 1 implicar em |a|₂ < 1

Pela equivalência entre as definições acima, podemos caracterizar todas formas de valor absoluto nos números racionais.^[1]

Teorema: Seja |.| um valor absoluto nos números racionais. Então |.| é trivial, ou é equivalente ao valor absoluto usual, ou é equivalente ao valor absoluto p-ádico.^[1]

Notas

Referências