Биморфизм

Биморфи́зм — морфизм категории, являющийся мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно, то есть морфизм, на который можно сокращать как слева, так и справа^[1], теоретико-категорное обобщение понятия биективного отображения.

Понятие биморфизма самодвойственно. Композиция биморфизмов является биморфизмом, таким образом, для данной категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ определена подкатегория ${\displaystyle \mathrm {Bim} _{\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {C}}}$, состоящая из тех же объектов, и содержащая лишь морфизмы, являющиеся биморфизмами.

Любой изоморфизм является биморфизмом, но не любой биморфизм есть изоморфизм. Например, вложение кольца целых чисел в поле рациональных чисел ${\displaystyle \sigma :\mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$ в категории ассоциативных колец является биморфизмом, при этом необратимым, то есть, изоморфизмом не являющимся^[2]. Если биморфизм ${\displaystyle \sigma }$ представлен в виде ${\displaystyle \sigma =\tau \circ \upsilon }$, то ${\displaystyle \tau }$ — мономорфизм, а ${\displaystyle \upsilon }$ — эпиморфизм^[3].

Сбалансированная категория — категория, в которой каждый биморфизм является изоморфизмом^[1], таковы, например, категория множеств и категория групп. Категория колец, категория топологических пространств, категория абелевых групп без кручения — несбалансированные.