Космологическое уравнение состояния

Уравнения состояния в общем виде могут иметь сложный вид, но поскольку космология обычно имеет дело с разреженными средами, то зависимость давления ${\displaystyle P}$ от плотности энергии ${\displaystyle \varepsilon }$ представляют в линейном виде: ${\displaystyle P=w\varepsilon }$ , где ${\displaystyle w}$ ― безразмерная величина^[1].

Уравнение состояния различных сред во Вселенной и их плотность — параметры, от которых зависит расширение Вселенной. Его можно описать следующими уравнениями^[1][2]:

Уравнение Фридмана:

${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\varepsilon -{\frac {\kappa c^{2}}{R^{2}a^{2}}}}$

Закон сохранения:

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}+3{\frac {\dot {a}}{a}}(\varepsilon +P)=0}$

Уравнение ускорения:

${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3c^{2}}}(\varepsilon +3P)}$

Третье уравнение выводится из первых двух, так что в этой системе два независимых уравнения^[1]. В этих уравнениях ${\displaystyle a}$  — масштабный коэффициент ― величина, описывающая расширение или сжатие Вселенной, ${\displaystyle G}$  — гравитационная постоянная, ${\displaystyle c}$  — скорость света, ${\displaystyle \kappa }$  — кривизна Вселенной (принимает значения ${\displaystyle 0}$ для плоского пространства, ${\displaystyle +1}$ для пространства с положительной кривизной и ${\displaystyle -1}$ с отрицательной), ${\displaystyle R}$ ― радиус кривизны Вселенной. Точка или две точки над символом означает, соответственно, производную по времени или производную второго порядка по времени^[3].

В этих уравнениях три неизвестных функции от времени: ${\displaystyle a(t)}$ , ${\displaystyle \varepsilon (t)}$ , ${\displaystyle P(t)}$ . Уравнение состояния даёт связь между двумя последними неизвестными, что позволяет решить систему уравнений. От его типа зависит вид решения. Например, у сред с различными коэффициентами ${\displaystyle w}$ плотность энергии при расширении Вселенной меняется по-разному: из закона сохранения можно получить соотношение ${\displaystyle \varepsilon \propto a^{-3-3w}\,.}$ При этом среды с различными уравнениями состояния могут сосуществовать одновременно: если между ними не происходит обмен энергией, то при расширении Вселенной плотность энергии каждой из сред меняется независимо от остальных^[4]. Для Вселенной с нулевой кривизной, содержащей только среду с определённым уравнением состояния, функция ${\displaystyle a(t)}$ также будет зависеть от ${\displaystyle w}$ ^[5]:

${\displaystyle a(t)=\left({\frac {t}{t_{0}}}\right)^{\frac {2}{3+3w}},}$

где ${\displaystyle t_{0}}$  — возраст Вселенной в данный момент. Для такой однокомпонентной Вселенной возраст можно выразить через ${\displaystyle w}$ и постоянную Хаббла ${\displaystyle H_{0}={\dot {a}}/a}$ в момент ${\displaystyle t_{0}}$ ^[6]:

${\displaystyle t_{0}={\frac {2}{3(1+w)}}H_{0}^{-1}\,.}$

В этом же случае плотность энергии меняется со временем как ${\displaystyle \varepsilon (t)=(t/t_{0})^{-2}\,,}$ независимо от ${\displaystyle w}$ . Приведённые формулы справедливы для ${\displaystyle w\neq -1}$ ^[6].

Можно рассмотреть обычное нерелятивистское вещество. Давление в нём пренебрежимо мало по сравнению с плотностью энергии (см. ниже^[⇨]), так что ${\displaystyle w=0}$ . Если вся Вселенная состоит из обычного вещества, то при расширении Вселенной и росте ${\displaystyle a}$ плотность энергии такого вещества уменьшается, как следует из закона сохранения. Уравнение ускорения показывает, что ${\displaystyle {\ddot {a}}/a<0\,,}$ то есть, расширение Вселенной замедляется — это можно упрощённо интерпретировать как простое следствие гравитационного взаимодействия, которое замедляет разлёт частиц. Если же представить ${\textstyle w<-1/3}$ , то это будет означать, что при положительной плотности энергии, наоборот, Вселенная расширяется ускоренно ― это случай тёмной энергии (см. ниже^[⇨])^[7][8].

Материя

В качестве примера можно рассмотреть разреженный газ, состоящий из нерелятивистских частиц. Уравнение состояния идеального газа обычно записывают в следующем виде^[1]:

${\displaystyle P={\frac {\rho }{\mu }}kT,}$

где ${\displaystyle \rho }$  — массовая плотность, ${\displaystyle \mu }$  — молярная масса газа, ${\displaystyle k}$  — постоянная Больцмана, ${\displaystyle T}$  — температура. Чтобы перейти к выражению давления через плотность энергии, нужно учесть, что у нерелятивистского газа энергия практически равна энергии покоя, так что ${\displaystyle \varepsilon \approx \rho c^{2}\,.}$ Тогда можно записать^[1]:

${\displaystyle P\approx {\frac {kT}{\mu c^{2}}}\varepsilon \,.}$

Поскольку газ нерелятивистский, то для среднеквадратичной скорости его частиц ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle }$ верно соотношение ${\displaystyle 3kT=\mu \langle v^{2}\rangle }$ , где предполагается ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle \ll c^{2}\,.}$ Уравнение состояния можно привести к виду ${\displaystyle P=w_{m}\varepsilon \,,}$ где^[1]:

${\displaystyle w_{m}\approx {\frac {\langle v^{2}\rangle }{3c^{2}}}\ll 1\,.}$

Таким образом, для нерелятивистского вещества можно считать ${\displaystyle w_{m}=0\,.}$ Среду с таким уравнением состояния в космологии принято называть холодной материей, либо просто материей, противопоставляя ей излучение (см. ниже^[⇨]). К ней относится не только нерелятивистское барионное вещество, сейчас составляющее 4,8 % критической плотности Вселенной, но и холодная тёмная материя^[9] — принятый в стандартной модели ΛCDM вид тёмной материи, которая составляет 26 % критической плотности и имеет неизвестную природу^{[2][10][11][12]}.

Для частично релятивистского вещества, у которого ${\displaystyle 0<\langle v^{2}\rangle <c^{2}\,,}$ ${\displaystyle w}$ будет находиться в диапазоне от 0 до 1/3^[10].

Излучение

Уравнение состояния для фотонов, а также для релятивистского газа записывается в виде^[1]:

${\displaystyle P\approx {\frac {1}{3}}\varepsilon \,.}$

Соответственно, ${\displaystyle w_{r}=1/3\,.}$ Среду с таким уравнением состояния в космологии принято называть горячей материей, либо излучением. В современной Вселенной плотность излучения очень мала: фотоны, в основном относящиеся к реликтовому излучению, составляют 5,4⋅10⁻⁵ критической плотности, а релятивистские нейтрино ― 3,6⋅10⁻⁵ критической плотности. Из-за такого уравнения состояния плотность излучения убывает с расширением Вселенной как ${\displaystyle \varepsilon _{r}\propto a^{-4}\,,}$ что быстрее, чем убывание плотности материи как ${\displaystyle \varepsilon _{m}\propto a^{-3}\,.}$ Плотности материи и излучения были равны, когда Вселенной было 50 миллионов лет ― сейчас её возраст составляет 13,7 миллиардов лет^[2][13].

Более быстрый спад плотности энергии излучения при расширении Вселенной можно интерпретировать следующим образом. Концентрация ${\displaystyle n}$ и для фотонов, и для нерелятивистских частиц меняется с масштабным коэффициентом как ${\displaystyle n\propto a^{-3}\,.}$ Для нерелятивистских частиц, энергия которых практически полностью обусловлена энергией покоя, такую же пропорциональность имеет и плотность энергии. Энергию фотона ${\displaystyle E}$ можно выразить через его длину волны ${\displaystyle \lambda }$ : ${\displaystyle E=hc/\lambda \,,}$ где ${\displaystyle h}$  — постоянная Планка. Поскольку длина волны фотона увеличивается вместе с расширением Вселенной — ${\displaystyle \lambda \propto a}$ , то для фотонов ${\displaystyle \varepsilon _{r}=nE=n(hc/\lambda )\propto a^{-3}a^{-1}=a^{-4}}$ ^[14].

Кривизна пространства

Кривизну пространства также можно представить в виде составляющей Вселенной и использовать плотность кривизны в уравнениях, описывающих расширение Вселенной. Для кривизны ${\displaystyle w_{K}=-1/3}$ и ${\displaystyle \varepsilon _{K}\propto a^{-2}\,.}$ Плотность кривизны точно определяется через радиус кривизны^[15]:

${\displaystyle \varepsilon _{K}=-{\frac {3}{8\pi Ga^{2}R^{2}}}\,.}$

Наблюдения показывают, что наша Вселенная практически плоская, с радиусом кривизны гораздо большим, чем радиус горизонта, и плотность кривизны считают нулевой^[15][16].

Тёмная энергия

Различные среды с уравнениями состояния, для которых ${\displaystyle w<-1/3}$ , называют тёмной энергией. Особенность такого уравнения состояния в том, что при положительной плотности тёмной энергии уравнение ускорения даёт ${\displaystyle {\ddot {a}}/a>0\,,}$ что означает ускоренное расширение Вселенной. Тёмная энергия имеет неизвестную природу, но поскольку ускоренное расширение Вселенной наблюдается в действительности, тёмная энергия — необходимая составляющая Вселенной^[1][17].

Наиболее общепринятый вариант тёмной энергии — космологическая постоянная (лямбда-член) с ${\displaystyle w_{\Lambda }=-1\,.}$ При таком уравнении состояния плотность тёмной энергии остаётся постоянной при расширении Вселенной, поэтому космологическую постоянную также интерпретируют как энергию вакуума. Плоская Вселенная, в которой доминирует космологическая постоянная, будет расширяться экспоненциально: ${\displaystyle a(t)=e^{H_{0}(t-t_{0})}}$ ^[18].

В модели ΛCDM используется именно этот вид тёмной энергии, её плотность составляет 69 % критической плотности. В возрасте Вселенной в 10,2 миллиарда лет доли материи и космологической постоянной во Вселенной были равны. Кроме того, космологическая постоянная — исторически первый рассмотренный вид тёмной энергии: первоначально Альберт Эйнштейн ввёл его для построения модели стационарной Вселенной^[англ.] в 1917 году^[19].

Тем не менее, не исключены и другие уравнения состояния тёмной энергии. Например, возможный вариант тёмной энергии с ${\displaystyle w<-1}$ называется фантомной энергией — при расширении её плотность энергии возрастает. Если в расширяющейся Вселенной присутствует фантомная энергия, то её плотность рано или поздно будет превышать плотность энергии любых гравитационно связанных систем и других тел, что приведёт к их разрушению, а масштабный коэффициент достигнет бесконечности за конечное время — это сценарий Большого разрыва^[20].

Также не исключена и возможность того, что ${\displaystyle w}$ тёмной энергии меняется со временем — подобный вид тёмной энергии называют квинтэссенцией^[21].

• Вайнберг С. Космология. — М.: УРСС, 2013. — 608 с. — ISBN 978-5-453-00040-1.
• Ryden B. Introduction to Cosmology. — Cambridge University Press, 2017. — 277 с. — ISBN 978-1-107-15483-4.