Модель Пламмера

Трёхмерный профиль плотности в модели Пламмера имеет вид

${\displaystyle \rho _{P}(r)={\frac {3M_{0}}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{\frac {5}{2}}},}$

где ${\displaystyle M_{0}}$ — полная масса моделируемого объекта, a — так называемый радиус Пламмера, масштабный параметр, устанавливающий характерный размер ядра системы. Соответствующий потенциал имеет вид

${\displaystyle \Phi _{P}(r)=-{\frac {GM_{0}}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}},}$

где G обозначает гравитационную постоянную. Дисперсия скоростей составляет

${\displaystyle \sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM_{0}}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}}.}$

Функция распределения имеет вид

${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {24{\sqrt {2}}}{7\pi ^{3}}}{\frac {Na^{2}}{G^{5}M_{0}^{5}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},}$

если ${\displaystyle E<0}$ , и ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})=0}$ в другом случае. Здесь ${\displaystyle E({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi _{P}(r)}$ показывает энергию в расчёте на единицу массы.

Масса внутри сферы радиуса ${\displaystyle r}$ :

${\displaystyle M(<r)=4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\rho _{P}(r')\,dr'=M_{0}{\frac {r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.}$

Многие свойства модели Пламмера описаны в статье Хервига Дейонге^[2].

Радиус ядра ${\displaystyle r_{c}}$ , на котором плотность падает до половины значения в центре, равен ${\displaystyle r_{c}=a{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.64a}$ .

Радиус, внутри которого заключена половина массы, ${\displaystyle r_{h}=\left({\frac {1}{0.5^{2/3}}}-1\right)^{-0.5}a\approx 1.3a.}$

Вириальный радиус составляет ${\displaystyle r_{V}={\frac {16}{3\pi }}a\approx 1.7a}$ .

Двумерная поверхностная плотность равна

${\displaystyle \Sigma (R)=\int _{-\infty }^{\infty }\rho (r(z))dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {3a^{2}M_{0}dz}{4\pi (a^{2}+z^{2}+R^{2})^{5/2}}}={\frac {M_{0}a^{2}}{\pi (a^{2}+R^{2})^{2}}}}$ ,

следовательно, двумерный профиль распределения массы:

${\displaystyle M(R)=2\pi \int _{0}^{R}\Sigma (R')\,R'dR'=M_{0}{\frac {R^{2}}{a^{2}+R^{2}}}}$ .

В астрономии бывает необходимо определять также радиус, внутри которого содержится половина массы в рамках двумерного распределения ${\displaystyle M(R_{1/2})=M_{0}/2}$ .

Для модели Пламмера ${\displaystyle R_{1/2}=a}$ .

Точки поворота орбиты частицы по радиусу характеризуются удельной энергией ${\displaystyle E={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (r)}$ и удельным угловым моментом ${\displaystyle L=|{\vec {r}}\times {\vec {v}}|}$ , соответствующие значения расстояний можно найти как корни кубического уравнения

${\displaystyle R^{3}+{\frac {GM_{0}}{E}}R^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2}\right)R-{\frac {GM_{0}a^{2}}{E}}=0,}$

где ${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}$ , поэтому ${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-a^{2}}}}$ . Это уравнение имеет три вещественных корня ${\displaystyle R}$ : два положительных и одно отрицательное, при ${\displaystyle L<L_{c}(E)}$ , где ${\displaystyle L_{c}(E)}$ является удельным угловым моментом для круговой орбиты с той же энергией. ${\displaystyle L_{c}}$ можно вычислить на основе единственного вещественного корня дискриминанта кубического уравнения, который сам по себе является кубическим уравнением

${\displaystyle {\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\underline {L}}_{c}^{2}+\left(12{\underline {E}}^{3}{\underline {a}}^{4}+20{\underline {E}}{\underline {a}}^{2}\right){\underline {L}}_{c}+\left(8{\underline {E}}^{4}{\underline {a}}^{6}-16{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{4}+8{\underline {a}}^{2}\right)=0,}$

где подчёркнутые параметры являются безразмерными в единицах Энона, определённых в виде ${\displaystyle {\underline {E}}=Er_{V}/(GM_{0})}$ , ${\displaystyle {\underline {L}}_{c}=L_{c}/{\sqrt {GMr_{V}}}}$ и ${\displaystyle {\underline {a}}=a/r_{V}=3\pi /16}$ .

Модель Пламмера позволяет представить наблюдаемые профили плотности звёздных скоплений, хотя быстрое снижение плотности на больших расстояниях (${\displaystyle \rho \rightarrow r^{-5}}$ ) не является пригодным для данных целей.

Поведение плотности вблизи центра системы не соответствует наблюдаемым характеристикам эллиптических галактик, в которых плотность к центру растёт сильнее.

Простота, с которой можно применить модель Пламмера в методе Монте-Карло, сделала модель Пламмера очень популярной в рамках моделирования задачи N тел, несмотря на недостаточный реализм модели^[3].