Непрерывная симметрия

Примером непрерывной симметрии является круговая симметрия^[англ.], то есть вращательная симметрия относительно любого угла. Трансляционная симметрия на произвольный вектор в заданном направлении также является непрерывной. В трёхмерном пространстве примером непрерывной симметрии является сферическая симметрия^[англ.], которая означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы, сохраняя одну точку на месте.

Понятие непрерывной симметрии формализуется с использованием понятий топологической группы, группы Ли и действий группы. Для большинства практических целей непрерывную симметрию можно моделировать с помощью действия группы, сохраняющего некоторую структуру. В частности, пусть ${\displaystyle f:X\to Y}$ является функцией, G является группой, действующей на X, тогда подгруппа ${\displaystyle H\subseteq G}$ является симметрией f, если ${\displaystyle f(h\cdot x)=f(x)}$ для всех ${\displaystyle h\in H}$ .

Подгруппы с одним параметром

Наиболее простые движения образуют однопараметрическую подгруппу группы Ли, например евклидову группу трёхмерного пространства. Например, перенос параллельно оси x на u единиц при варьировании u является однопараметрической группой движений. Вращение вокруг оси z также является однопараметрической группой.

Непрерывная симметрия играет основную роль в теореме Нётер теоретической физики в выводе законов сохранения из принципов симметрии, в особенности непрерывной. С развитием квантовой теории поля поиск непрерывных симметрий приобретает особенную важность.

• William H. Barker, Roger Howe (2007), Continuous Symmetry: from Euclid to Klein