Пустое множество

Обычно пустое множество обозначают как ${\displaystyle \varnothing }$ , ${\displaystyle \emptyset }$ или ${\displaystyle \{\}}$ .Реже пустое множество обозначают одним из следующих символов: ${\displaystyle \Lambda }$ и ${\displaystyle 0}$ ^[2].

Символы ${\displaystyle \varnothing }$ и ${\displaystyle \emptyset }$ введены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем) в 1939 году. Прообразом послужила буква Ø из датско-норвежского алфавита^[3].

Символ «пустое множество» представлен в Юникоде (U+2205 ∅ empty set)^[4] и, хотя он отсутствует в стандартных раскладках клавиатуры, может быть введён с клавиатуры:

• в HTML как ∅ или ∅ или ∅;
• в LaTeX его код \varnothing (символ ${\displaystyle \emptyset }$ кодируется \emptyset);
• в Microsoft Word символ можно получить, введя 2205 и нажав Alt+X;
• в Windows с помощью Alt-кода Alt+8709;
• в системах, использующих X Window System (Unix/Linux/ChromeOS и др.), с помощью комбинации Ctrl+⇧ Shift+u 2205Пробел или с использованием клавиши Compose, нажав поочерёдно Compose{}^[5].

В текстах на таких языках, как датский или норвежский, где символ пустого множества может быть спутан с буквой алфавита Ø (при использовании в лингвистике), вместо него может быть использован символ Юникода U+29B0 ⦰ reversed empty set (HTML ⦰)^[6].

• Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, ${\displaystyle \forall a\ (a\notin \varnothing )}$ и, в частности, ${\displaystyle \varnothing \notin \varnothing }$ .
• Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, ${\displaystyle \forall a\ (\varnothing \subseteq a)}$ и, в частности, ${\displaystyle \varnothing \subseteq \varnothing }$ .
• Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря,${\displaystyle \forall a\ (\varnothing \cup a=a)}$ и, в частности, ${\displaystyle \varnothing \cup \varnothing =\varnothing }$ .
• Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, ${\displaystyle \forall a\ (\varnothing \cap a=\varnothing )}$ и, в частности, ${\displaystyle \varnothing \cap \varnothing =\varnothing }$ .
• Пересечение любого множества с его дополнением равно пустому множеству. Иначе говоря, ${\displaystyle \forall a\ (a\cap {\overline {a}}=\varnothing )}$ .
• Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, ${\displaystyle \forall a\ (a\setminus \varnothing =a)}$ и, в частности, ${\displaystyle \varnothing \setminus \varnothing =\varnothing }$ .
• Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, ${\displaystyle \forall a\ (\varnothing \setminus a=\varnothing )}$ и, в частности, ${\displaystyle \varnothing \setminus \varnothing =\varnothing }$ .
• Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, ${\displaystyle \forall a\ (\varnothing \triangle a=a\ \land \ a\triangle \varnothing =a)}$ и, в частности, ${\displaystyle \varnothing \triangle \varnothing =\varnothing }$
• Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, ${\displaystyle \forall a\ (\varnothing \times a=\varnothing \ \land \ a\times \varnothing =\varnothing )}$ и, в частности, ${\displaystyle \varnothing \times \varnothing =\varnothing }$ .
• Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, ${\displaystyle \mathrm {Trans} (\varnothing )}$ , где ${\displaystyle \mathrm {Trans} (\varnothing )\Leftrightarrow \forall b\ (b\in \varnothing \to b\subseteq \varnothing )}$ .
• Пустое множество — не рефлективно, симметрично, антисимметрично.
• Пустое множество — ординал. Иначе говоря, ${\displaystyle \mathrm {Ord} (\varnothing )}$ , где ${\displaystyle \mathrm {Ord} (\varnothing )\Leftrightarrow \mathrm {Trans} (\varnothing )\ \land \ \forall b\ (b\in \varnothing \to \mathrm {Trans} (b))}$ .
• Мощность пустого множества равна нулю. Иначе говоря, ${\displaystyle |\varnothing |=0}$ .
• Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря, ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ .

• Аксиома пустого множества
• Аксиоматика теории множеств

• Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.
• Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.: МАИ, 1992. — 264 с. — ISBN 5-7035-0157-X.
• Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (paperback edition).
• Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2
• Graham, Malcolm (1975), Modern Elementary Mathematics (2nd ed.), Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0155610392