Предаддитивная категория
Предаддити́вная категория — обогащённая категория над категорией абелевых групп, то есть такая категория, что для любых её объектов , множество имеет структуру абелевой группы по сложению, при этом композиция морфизмов билинейна:
Предаддитивную категорию иногда называют также -категорией[1].
Примеры
- Категория абелевых групп .
- Категории левых R-модулей и правых R-модулей .
Аддитивные функторы
Функтор называется аддитивным, если каждое отображение является гомоморфизмом абелевых групп.
Если и — категории, причём предаддитивна, то категория функторов также предаддитивна, поскольку естественные преобразования можно естественным образом складывать.Если тоже предаддитивна, то категория аддитивных функторов и естественных преобразований также предаддитивна.
Последний пример ведёт к обобщению понятия модуля: если предаддитивна, то категория называется категорией модулей над . Если — предаддитивная категория из одного объекта — кольца , это приводит к обычному определению (левых) -модулей.
— категория всех малых -категорий, морфизмами в которой являются аддитивные функторы.
Специальные случаи
- Кольцо — предаддитивная категория из одного объекта.
- Аддитивная категория — предаддитивная категория с конечными произведениями.
- Абелева категория — аддитивная категория, в которой существуют ядра и коядра, причём каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм нормален.
Примечания
Литература
- Nicolae Popescu; 1973; Abelian Categories with Applications to Rings and Modules; Academic Press, Inc. — ISBN 0-12-561550-7.