Связанное состояние

• Протон и электрон могут двигаться отдельно; когда они это делают, то общая энергия центра масс положительна, и такую пару частиц можно описать как ионизированный атом. Как только электрон начинает «вращаться» вокруг протона, энергия становится отрицательной и возникает связанное состояние — атом водорода. Стабильным является только связанное состояние, которое обладает наименьшей энергией, называемое основным состоянием. Другие возбуждённые состояния нестабильны и распадаются на стабильные (но не на другие нестабильные) связанные состояния с меньшей энергией, например, путём испускания фотона.
• Позитроний — это нестабильное связанное состояние электрона и позитрона. Он распадается на фотоны.
• Любое состояние квантового гармонического осциллятора является связанным, но имеет положительную энергию. Обратите внимание, что ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{V_{\text{QHO}}(x)}=\infty }$ , поэтому приведённое ниже неприменимо.
• Ядро — это связанное состояние протонов и нейтронов (нуклонов).
• Сам протон представляет собой связанное состояние трёх кварков (два верхних и один нижний; один красный, один зелёный и один синий). Однако, в отличие от атома водорода, отдельные кварки никогда не могут быть разделены.
• Модели Хаббарда и Джейнса — Каммингса — Хаббарда (JCH) оптсывают аналогичные связанные состояния. В модели Хаббарда два отталкивающихся бозонных атома могут образовывать связанную пару в оптической решётке^[5][6][7]. Гамильтониан JCH также имеет решение в виде двухполяритонных связанные состояний при достаточно сильном взаимодействии фотона с атомом^[8].

Пусть σ -конечное пространство с мерой ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ есть вероятностное пространство, связанное с сепарабельным комплексным гильбертовым пространством ${\displaystyle H}$ . Определимоднопараметрическую группу унитарных операторов ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ , оператор плотности ${\displaystyle \rho =\rho (t_{0})}$ и наблюдаемую ${\displaystyle T}$ на ${\displaystyle H}$ . Пусть ${\displaystyle \mu (T,\rho )}$ индуцирована распределением вероятностей ${\displaystyle T}$ относительно ${\displaystyle \rho }$ . Тогда эволюция

${\displaystyle \rho (t_{0})\mapsto [U_{t}(\rho )](t_{0})=\rho (t_{0}+t)}$

связан (ограничена) по отношению к ${\displaystyle T}$ если

${\displaystyle \lim _{R\rightarrow \infty }{\sup _{t\geq t_{0}}{\mu (T,\rho (t))(\mathbb {R} _{>R})}}=0}$ ,

где ${\displaystyle \mathbb {R} _{>R}=\lbrace x\in \mathbb {R} \mid x>R\rbrace }$ .^{[источник не указан 36 дней][9]}

Квантовая частица находится в связанном состоянии, если ни в какой момент времени она не оказывается «слишком далеко» от любой конечной области ${\displaystyle R\subset X}$ . Например, используя представление волновой функции, это означает

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\lim _{R\to \infty }{\mathbb {P} ({\text{particle measured inside }}X\setminus R)}\\&=\lim _{R\to \infty }{\int _{X\setminus R}|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)},\end{aligned}}}$

такой, что

${\displaystyle \int _{X}{|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)}<\infty .}$

В общем, квантовое состояние является связанным состоянием тогда и только тогда, когда оно конечно нормируемо во все времена ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ^[10]. Кроме того, связанное состояние лежит в пределах чисто точечной части спектра ${\displaystyle T}$ тогда и только тогда, когда оно является собственным состоянием ${\displaystyle T}$ ^[11].

Говоря более неформально, «ограниченность» является результатом выбора области определения и характеристик состояния, а не наблюдаемой велечины. Для конкретного примера: пусть ${\displaystyle H:=L^{2}(\mathbb {R} )}$ и разрешим ${\displaystyle T}$ быть оператором координаты. Учитывая компактную ${\displaystyle \rho =\rho (0)\in H}$ и ${\displaystyle [-1,1]\subseteq \mathrm {Supp} (\rho )}$ .

• Если эволюция состояния ${\displaystyle \rho }$ «перемещает этот волновой пакет вправо», например, если ${\displaystyle [t-1,t+1]\in \mathrm {Supp} (\rho (t))}$ для всех ${\displaystyle t\geq 0}$ , затем ${\displaystyle \rho }$ не является связанным состоянием по отношению к координате.
• Если ${\displaystyle \rho }$ не меняется во времени, то есть ${\displaystyle \rho (t)=\rho }$ для всех ${\displaystyle t\geq 0}$ , тогда ${\displaystyle \rho }$ привязано по отношению к положению.
• В более общем случае: если эволюция состояния ${\displaystyle \rho }$ «просто движется ${\displaystyle \rho }$ внутри ограниченной области», то ${\displaystyle \rho }$ привязано по отношению к координате.

Поскольку конечно нормируемые состояния должны лежать в пределах чисто точечной части (дискретного) спектра, связанные состояния должны лежать в чисто точечной части. Однако, как указали Нейман и Вигнер, энергия связанного состояния может находиться в непрерывной части спектра. Это явление называется связанным состоянием в континууме^[12][13].

Рассмотрим одночастичное уравнение Шрёдингера. Если состояние обладает энергией ${\textstyle E<\max {\left(\lim _{x\to \infty }{V(x)},\lim _{x\to -\infty }{V(x)}\right)}}$ , то волновая функция ψ удовлетворяет для некоторого ${\displaystyle X>0}$

${\displaystyle {\frac {\psi ^{\prime \prime }}{\psi }}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V(x)-E)>0{\text{ for }}x>X}$

так что ψ экспоненциально затухает при больших x. Такое поведение хорошо изучено для плавно меняющихся потенциалов в приближении ВКБ для волновой функции, где наблюдается колебательное поведение, если правая часть уравнения отрицательна, и поведение роста/затухания, если оно положительно^[14]. Следовательно, состояния с отрицательной энергией связаны, если V обращается в нуль на бесконечности.

Ниже показано, что одномерные связанные состояния невырождены по энергии для волновых функций с хорошим поведением, которые затухают до нуля на бесконечности. Это не обязательно справедливо для волновой функции в более высоких измерениях. Благодаря свойству невырожденных состояний одномерные связанные состояния всегда можно выразить как действительные волновые функции.

Доказательство

Рассмотрим два собственных состояний ${\textstyle \Psi _{1}}$ и ${\textstyle \Psi _{2}}$ с одинаковым собственным значением энергии. Тогда, поскольку уравнение Шредингера выражается как: $${\displaystyle E=-{\frac {1}{\Psi _{i}(x,t)}}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\ partial^{2}\Psi _{i}(x,t)}{\partial x^{2}}}+V(x,t)}$$ удовлетворяется для i = 1 и 2, вычитание двух уравнений даёт: $${\displaystyle {\frac {1}{\Psi _{1}(x,t)}}{\frac {\partial ^{2}\Psi _{1}(x,t)}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{\Psi _{2}(x,t)}}\ frac{\partial ^{2}\Psi _{2}(x,t)}{\partial x^{2}}=0}$$ которое можно переставить, чтобы получить условие $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}\Psi _{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial x}}\Psi _{1}\right)=0}$$ Поскольку ${\textstyle {\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}(x)\Psi _{2}(x)-{\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial x}}(x)\Psi _{1}(x)=C}$ , принимая предел x, стремящийся к бесконечности с обеих сторон, волновые функции исчезают и дают ${\textstyle C=0}$ . Решение задачи ${\textstyle {\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}(x)\Psi _{2}(x)={\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial x}}(x)\Psi _{1}(x)}$ , мы получаем: ${\textstyle \Psi _{1}(x)=k\Psi _{2}(x)}$ , что доказывает, что собственная функция энергии одномерного связанного состояния уникальна. Более того, можно показать, что эти волновые функции всегда могут быть представлены вполне реальной волновой функцией. Определить реальные функции ${\textstyle \rho _{1}(x)}$ и ${\textstyle \rho _{2}(x)}$ такой, что ${\textstyle \Psi (x)=\rho _{1}(x)+i\rho _{2}(x)}$ . Затем из уравнения Шрёдингера: $${\displaystyle \Psi ''=-{\frac {2m(E-V(x))}{\hbar ^{2}}}\Psi }$$ мы получаем это, поскольку члены в уравнении все действительные значения $${\displaystyle \rho _{i}''=-{\frac {2m(E-V(x))}{\hbar ^{2}}}\rho _{i}}$$ применяется для i = 1 и 2. Таким образом, каждое одномерное связанное состояние может быть представлено вполне вещественными собственными функциями. Обратите внимание, что вещественное представление волновых функций из этого доказательства применимо для всех невырожденных состояний в целом.

Теорема об узлах утверждает, что n-я связанная волновая функция, упорядоченная по возрастанию энергии, имеет ровно n-1 узлов, то есть точки ${\displaystyle x=a}$ где ${\displaystyle \psi (a)=0\neq \psi '(a)}$ . Из-за формы независимых от времени уравнений Шрёдингера физическая волновая функция не может иметь ${\displaystyle \psi (a)=0=\psi '(a)}$ поскольку это соответствует решению ${\displaystyle \psi (x)=0}$ ^[15].

Бозон с массой m_χ, передающий слабосвязанное взаимодействие, создаёт потенциал взаимодействия типа Юкавы:

${\displaystyle V(r)=\pm {\frac {\alpha _{\chi }}{r}}e^{-{\frac {r}{\lambda \!\!\!{\frac {}{\ }}_{\chi }}}}}$ ,

где ${\displaystyle \alpha _{\chi }=g^{2}/4\pi }$ , g — калибровочная константа связи, ƛ_i = ℏ/m_ic

— приведённая комптоновская длина волны. Скалярный бозон создает универсальный потенциал притяжения, тогда как векторый притягивает частицы к античастицам, но отталкивает, как подобные пары. Для двух частиц массой m₁ и m₂ боровский радиус системы равен

${\displaystyle a_{0}={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}{\alpha _{\chi }}}}$

и даёт безразмерное число

${\displaystyle D={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{a_{0}}}=\alpha _{\chi }{\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}}=\alpha _{\chi }{\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{\chi }}}}$ .

Для того чтобы первое связанное состояние вообще существовало, ${\displaystyle D\gtrsim 0.8}$ . Поскольку фотон безмассовый, то для электромагнетизма D бесконечно. Для слабого взаимодействия масса Z-бозона равна 91,1876 ± 0,0021 GeV/c2, что предотвращает образование связанных состояний между большинством частиц, так как оно составляет 97,2 times массы протона и 178,000 times массы электрона.

Если бы хиггсовское взаимодействие не нарушило электрослабую симметрию на электрослабом масштабе, то SU(2) слабое взаимодействие обладало бы свойством конфайнмента^[16].

• Blanchard, Philippe. Some Applications of the Spectral Representation // Mathematical Methods in Physics: Distributions, Hilbert Space Operators, Variational Methods, and Applications in Quantum Physics : [] / Philippe Blanchard, Edward Brüning. — 2nd. — Switzerland : Springer International Publishing, 2015. — P. 431. — ISBN 978-3-319-14044-5.
• Gustafson, Stephen J. Spectrum and Dynamics // Mathematical Concepts of Quantum Mechanics : [] / Stephen J. Gustafson, Israel Michael Sigal. — 2nd. — Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 2011. — P. 50. — ISBN 978-3-642-21865-1.
• Ruelle, David (9 January 2016). "A Remark on Bound States in Potential-Scattering Theory" (PDF). Nuovo Cimento A. 61 (June 1969): 655—662. doi:10.1007/BF02819607. S2CID 56050354. Дата обращения: 27 декабря 2021.