Симметрическая функция
Симметрическая функция от n переменных — это функция, значение которой на любом n-кортеже аргументов то же самое, что и значение на любой перестановке этого n-кортежа[1]. Если, например, , функция может быть симметрической на всех переменных или парах , или . Хотя это может относиться к любым функциям, для которых n аргументов имеют одну и ту же область определения, чаще всего имеются в виду многочлены, которые в этом случае являются симметрическими многочленами. Вне многочленов теория симметрических функций бедна и мало используется. Также обычно не важно точное число переменных, считается что их просто достаточно много. Чтобы сделать эту идею более строгой, с помощью проективного предела осуществляется переход к так называемому кольцу симметрических функций , формально содержащему бесконечное число переменных.
Симметризация
Если задана какая-либо функция f от n переменных со значениями в абелевой группе (то есть в группе с коммутативной операцией), симметрическая функция может быть построена путём суммирования значений f по всем перестановкам аргументов. Аналогично, антисимметрическая функция может быть построена как сумма по всем чётным перестановкам, из которой вычитается сумма по всем нечётным перестановкам. Эти операции, конечно, необратимы и могут привести к тождественно равной нулю функции для нетривиальной функции f. Единственный случай, когда f может быть восстановлена, когда известны симметризация функции и антисимметризация, это когда n = 2 и абелева группа допускает деление на 2 (операция, обратная удвоению). В этом случае f равна половине суммы симметризации и антисимметризации.
Кольцо симметрических функций
Рассмотрим действие симметрической группы на
— кольцо многочленов от n переменных. Она действует перестановкой переменных. Как было сказано выше, симметрические многочлены в точности те, что не меняются под действием элементов этой группы. Таким образом, они образуют подкольцо:
В свою очередь, является градуированным кольцом:
, где
состоит из однородных симметрических многочленов степени k, а также нулевого многочлена.
Далее с помощью проективного предела определяется кольцо симметрических функций степени k:
Наконец, получаем градуированное кольцо , которое и называется кольцом симметрических функций.
Замечания.
не является проективным пределом
(в категории колец). Например, бесконечное произведение
не содержится в
, т.к. содержит мономы сколь угодно большой степени.
- "Определитель"
также не имеет аналога в
.
Базисы в пространстве симметрических функций
- Мономиальный базис. Для каждого разбиения
определим моном
Он не является симметрическим многочленом, а также содержит лишь конечное число переменных, входящих в него с ненулевой степенью. Теперь просуммируем множество мономов
, получаемых из него всевозможными перестановками индексов
(каждый моном суммируется лишь один раз, даже если его можно получить с помощью нескольких различных перестановок):
. Легко понять, что
такие, что
образуют базис
, а значит все
образуют базис
, который называется мономиальным.
- Элементарные симметрические функции. Для каждого целого
определим
— сумму всех возможных произведений из r различных переменных. Таким образом,
, при
:
- Для каждого разбиения
элементарная симметрическая функция это
Они образуют базис в пространстве
.
- Для каждого разбиения
- Полные симметрические функции. Для каждого целого
определим
— сумму всех мономиальных функций степени r. Таким образом,
, при
:
- Далее, как и случае элементарных функций, положим
- Далее, как и случае элементарных функций, положим
- Степенные суммы. Для каждого
степенной суммой называется
.
Для разбиения степенная сумма определяется как
Тождества.
, для всех k > 0,
, для всех k > 0,
, для всех k > 0.
Соотношения для производящих функций.
Легко показать, что
Также
Отсюда следует соотношение
Наконец, .
Аналогично получаем .
- Функции Шура. Пусть имеется конечное число переменных
и дано разбиение
такое, что
(длина разбиения не превосходит число переменных). Тогда многочленом Шура разбиения
от n переменных называется
— однородный симметрический многочлен степени
. При
эти многочлены сходятся к единственному элементу
, называемому функцией Шура разбиения
.
- Функции Джека. При введении особого скалярного произведения на
являются обобщением функций Шура, сохраняя многие из их свойств.
Приложения
U-статистика
В статистике статистика на n-выборке (функция от n переменных), полученная путём бутстрэпа симметризации статистики на выборке из k элементов, даёт симметрическую функцию от n переменных, называемую U-статистикой[англ.]. Примеры включают выборочное среднее и выборочную дисперсию.