Таблица производных

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 8 января 2022 года; проверки требуют 4 правки.

Вычисление производной — операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

В этих формулах $f$ и $g$ — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а $c$ — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Производные простых функций

${d \over dx}c=0$

${d \over dx}x=1$

${d \over dx}cx=c$

Вывод

$(cx)'=cx'=c$

${d \over dx}x^{c}=cx^{c-1},$ когда $x^{c}$ и $cx^{c-1}$ определены, $c\neq 0$

Вывод

(x+h)^{c}=x^{c}+(x^{c})'h+o(h)

(x+h)^{c}-x^{c}=(x^{c})'h+o(h)

\sum _{k=0}^{c}{c \choose k}x^{c-k}h^{k}-x^{c}=(x^{c})'h+o(h)

x^{c}+cx^{c-1}h+\sum _{k=2}^{c}{c \choose k}x^{c-k}h^{k}-x^{c}=(x^{c})'h+o(h)

cx^{c-1}h+\sum _{k=2}^{c}{c \choose k}x^{c-k}h^{k}=(x^{c})'h+o(h)

cx^{c-1}h+o(h)=(x^{c})'h+o(h)

\lim _{h\rightarrow 0}(cx^{c-1}+{\frac {o(h)}{h}})=\lim _{h\rightarrow 0}((x^{c})'+{\frac {o(h)}{h}})

cx^{c-1}=(x^{c})'

${d \over dx}|x|={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0$

Вывод

Так как

|x|={\sqrt {x^{2}}}

, то пусть

g(x)=x^{2},\quad h(x)={\sqrt {x}}

и

f(x)=h(g(x))={\sqrt {x^{2}}}=|x|

Тогда

f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}}}}}\cdot 2x={\frac {x}{\sqrt {x^{2}}}}={\frac {x}{|x|}}

${d \over dx}\left({1 \over x}\right)={d \over dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}$

${d \over dx}\left({1 \over x^{c}}\right)={d \over dx}\left(x^{-c}\right)=-{c \over x^{c+1}}$

${d \over dx}{\sqrt {x}}={d \over dx}x^{1 \over 2}={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0$

${d \over dx}{\sqrt[{n}]{x}}={d \over dx}x^{1 \over n}={1 \over n}x^{1-n \over n}={\frac {1}{n\cdot {\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}}$

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

${d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0$

Вывод

${d \over dx}c^{x}={d \over dx}e^{x\ln c}=e^{x\ln c}\ln c=c^{x}\ln c$

${d \over dx}e^{x}=e^{x}$

${d \over dx}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}$

${d \over dx}\ln x={1 \over x}$
${d \over dx}\log _{a}x={\frac {\log _{a}e}{x}}={\frac {1}{x\ln a}}$

Вывод

log_{a}(x+h)=log_{a}x+(log_{a}x)'h+o(h)

log_{a}(x+h)-log_{a}x=(log_{a}x)'h+o(h)

log_{a}(1+{\frac {h}{x}})=(log_{a}x)'h+o(h)

log_{a}e{\frac {h}{x}}=(log_{a}x)'h+o(h)

${\frac {d}{dx}}\log _{a}f(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln f(x)}{\ln(a)}}={\frac {f'(x)}{f(x)\ln(a)}}.$

Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций

${d \over dx}\sin x=\cos x$

Вывод

\sin(x+h)=\sin x+(\sin x)'h+o(h)

\sin(x+h)-\sin x=(\sin x)'h+o(h)

2\sin {\frac {h}{2}}\cos {\frac {2x+h}{2}}=(\sin x)'h+o(h)

2({\frac {h}{2}}+o(h))(\cos x+o(1))=(\sin x)'h+o(h)

(\cos x)h+o(h)=(\sin x)'h+o(h)

\cos x=\sin 'x

${d \over dx}\cos x=-\sin x$

${d \over dx}\,\operatorname {tg} \,x=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=\operatorname {tg} ^{2}x+1$

${d \over dx}\,\operatorname {ctg} \,x=-\,\operatorname {cosec} ^{2}\,x=-{1 \over \sin ^{2}x}$

${d \over dx}\sec x=\,\operatorname {tg} \,x\sec x$

${d \over dx}\,\operatorname {cosec} \,x=-\,\operatorname {ctg} \,x\,\operatorname {cosec} \,x$

${d \over dx}\arcsin x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\arccos x=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arctg} \,x={1 \over 1+x^{2}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arcctg} \,x=-{1 \over 1+x^{2}}$

${d \over dx}\operatorname {arcsec} x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arccosec} \,x=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

Производные гиперболических функций

{d \over dx}\,\operatorname {sh} \,x=\,\operatorname {ch} \,x

{d \over dx}\,\operatorname {ch} \,x=\,\operatorname {sh} \,x

{d \over dx}\,\operatorname {th} \,x=\,\operatorname {sech} ^{2}\,x=1-\operatorname {th} ^{2}\,x

{d \over dx}\,\operatorname {sech} \,x=-\operatorname {th} x\,\operatorname {sech} \,x

{d \over dx}\,\operatorname {cth} \,x=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x

{d \over dx}\,\operatorname {csch} \,x=-\,\operatorname {cth} \,x\,\operatorname {csch} \,x

{d \over dx}\,\operatorname {arsh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}

{d \over dx}\,\operatorname {arch} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}

{d \over dx}\,\operatorname {arth} \,x={1 \over 1-x^{2}}

, при

|x|<1

{d \over dx}\,\operatorname {arsech} \,x=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}

{d \over dx}\,\operatorname {arcth} \,x={1 \over 1-x^{2}}

, при

|x|>1

{d \over dx}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}

Правила дифференцирования общих функций

\left({cf}\right)'=cf'

\left({f+g}\right)'=f'+g'

\left({f-g}\right)'=f'-g'

\left({fg}\right)'=f'g+fg'

(частный случай формулы Лейбница)

\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0

(f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\qquad f>0

(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)

— Правило дифференцирования сложной функции

f'=(\ln f)'f,\qquad f>0

(f^{c})'=c\left(f^{c-1}\right)f'

См. также

Таблица первообразных

Источник — https:https://www.search.com.vn/wiki/index.php?lang=ru&q=Таблица_производных&oldid=132743431

🔥 Top keywords: Заглавная страница Яндекс Новая Каледония Служебная:Поиск Станкович, Деян YouTube Белоусов, Андрей Рэмович Дюмин, Алексей Геннадьевич Ясукэ Андрияка, Сергей Николаевич Шойгу, Сергей Кужугетович Фицо, Роберт Годовщины свадьбы Попков, Михаил Викторович Волчанск (Украина)ВКонтакте Путин, Владимир Владимирович Россия Министерство неджентльменских дел Список умерших в 2024 году Евровидение-2024 Telegram Фоллаут (телесериал)Чемпионат мира по хоккею с шайбой 2024 Покушение на Роберта Фицо Харьков Министр обороны Российской Федерации Словакия Fallout (серия игр)Вторжение России на Украину (с 2022)Клеопатра Nemo (певец)Усик, Александр Александрович Медведев, Дмитрий Анатольевич Фьюри, Тайсон Чикатило, Андрей Романович 16 мая Служебная:Моё обсуждение Газель (автомобиль)