Шершавое многообразие

• E₈-многообразие
• Возьмём ${\displaystyle 4k}$ -мерное многообразие Милнора ${\displaystyle W^{4k}}$ , ${\displaystyle k>1}$ ; ${\displaystyle W^{4k}}$ параллелизуемо, его сигнатура равна ${\displaystyle 8}$ , и его край ${\displaystyle M=\partial W^{4k}}$ гомотопически эквивалентен сфере ${\displaystyle S^{4k-1}}$ . Подклейка к ${\displaystyle W^{4k}}$ конуса ${\displaystyle C(M)}$ к ${\displaystyle \partial W^{4k}}$ приводит к пространству ${\displaystyle P^{4k}}$ . При этом, так как ${\displaystyle M}$ есть кусочно-линейная сфера (см. обобщенная гипотеза Пуанкаре), то ${\displaystyle C(M)}$ кусочно-линейный шар, так что ${\displaystyle P^{4k}}$  — кусочно-линейное многообразие. С другой стороны, ${\displaystyle P^{4k}}$ есть шершавое многообразие, так как его сигнатура равна 8, а сигнатура гладкого почти параллелизуемого (то есть параллелизуемого после выкалывания точки) ${\displaystyle 4k}$ -мерного многообразия кратна числу ${\displaystyle \sigma _{k}}$ , экспоненциально растущему с ростом ${\displaystyle k}$ .
  • В частности, из этого следует, что многообразие ${\displaystyle M}$ не диффеоморфно сфере ${\displaystyle S^{4k-1}}$ .

Пусть ${\displaystyle O_{n}}$  — ортогональная группа, a ${\displaystyle PL_{n}}$  — группа сохраняющих начало кусочно-линейных гомеоморфизмов ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .Включение ${\displaystyle O_{n}\to PL_{n}}$ индуцирует расслоение ${\displaystyle BO_{n}\to BPL_{n}}$ , где ${\displaystyle BG}$  — классифицирующее пространство группы ${\displaystyle G}$ .При ${\displaystyle n\to \infty }$ получается расслоение ${\displaystyle p:BO_{n}\to BPL_{n}}$ , слой которого обозначается через ${\displaystyle M/O}$ .
Кусочно-линейное многообразие ${\displaystyle X}$ обладает линейным стабильным нормальным расслоением ${\displaystyle \nu }$ , классифицируемым отображением ${\displaystyle \nu :X\to BPL_{n}}$ .
Если же ${\displaystyle X}$ является гладким (сглаживаемым) многообразием, то оно обладает векторным стабильным нормальным расслоением ${\displaystyle {\bar {\nu }}}$ , классифицируемым отображением ${\displaystyle {\bar {\nu }}:X\to BO_{n}}$ , причем ${\displaystyle p\circ {\bar {\nu }}=\nu }$ .Это условие также и достаточно, то есть

• Замкнутое кусочно-линейное многообразие ${\displaystyle X}$ сглаживаемо тогда и только тогда, когда его кусочно-линейное стабильное нормальное расслоение допускает векторную редукцию, то есть когда отображение ${\displaystyle \nu :X\to BPL_{n}}$ «поднимается» в ${\displaystyle BO_{n}}$ (то есть существует такое ${\displaystyle {\bar {\nu }}:X\to BO_{n}}$ , что ${\displaystyle p\circ {\bar {\nu }}=\nu }$ ).

• Сфера Милнора

• Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы, пер. с англ., — М., 1979.
• Kervaire M. «Comment, math, helv.», 1960, t. 34, p. 257—70;