Эллиптическая функция

Эллиптической функцией называют такую мероморфную функцию ${\displaystyle f}$ , определённую на области ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , для которой существуют два ненулевых комплексных числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ , таких что

${\displaystyle f(z+a)=f(z+b)=f(z),\quad \forall z\in C,}$

а также частное ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ не является действительным числом.

Из этого следует, что для любых целых ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(z+ma+nb)=f(z),\quad \forall z\in C}$ .

Любое комплексное число ${\displaystyle \omega }$ , такое что

${\displaystyle f(z+\omega )=f(z),\quad \forall z\in C,}$

называют периодом функции ${\displaystyle f}$ . Если периоды ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ таковы, что любое ${\displaystyle \omega }$ может быть записано как

${\displaystyle \omega =ma+nb,}$

то ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ называют фундаментальными периодами. Каждая эллиптическая функция обладает парой фундаментальных периодов.

Параллелограмм ${\displaystyle \Pi }$ с вершинами в ${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle a+b}$ называется фундаментальным параллелограммом.

• Не существует отличных от констант целых эллиптических функций (первая теорема Лиувилля).
• Если эллиптическая функция ${\displaystyle f(z)}$ не имеет полюсов на границе параллелограмма ${\displaystyle \alpha +\Pi }$ , то сумма вычетов ${\displaystyle f(z)}$ во всех полюсах, лежащих внутри ${\displaystyle \alpha +\Pi }$ , равна нулю (вторая теорема Лиувилля).
• Любая эллиптическая функция с периодами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ может быть представлена в виде

  ${\displaystyle f(z)=h{\big (}\wp (z){\big )}+g{\big (}\wp (z){\big )}\wp '(z),}$

где h, g — рациональные функции, ${\displaystyle \wp (z)}$  — функция Вейерштрасса с теми же периодами, что и у ${\displaystyle f(z)}$ . Если при этом ${\displaystyle f(z)}$ является чётной функцией, то её можно представить в виде ${\displaystyle f(z)=h{\big (}\wp (z){\big )}}$ , где h рациональна.

• Эллиптические функции неэлементарны, это было доказано Якоби в 1830-х годах.

• Эллиптические функции Вейерштрасса
• Эллиптические функции Якоби
• Гиперболические функции

1. Эллиптические функции // Кнэпп Э. Эллиптические кривые. — М.: Факториал Пресс, 2004.
2. Глава 11 // Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Государственное издание физико-математической литературы, 1960.