Трёхмерная сфера
Трёхмерная сфе́ра (трёхмерная гиперсфе́ра, иногда 3-сфе́ра) — сфера в четырёхмерном пространстве. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.
Уравнениеправить код
В декартовых координатах трёхмерная сфера радиуса может быть задана уравнением
Рассматривая комплексное пространство как вещественное , уравнение сферы может быть рассмотрено как
Аналогично, в пространстве кватернионов :
Являясь трёхмерным многообразием, трёхмерная сфера может быть задана параметрически с использованием трёх координат. Примером являются гиперсферические координаты:
Свойстваправить код
Трёхмерная сфера является границей четырёхмерного шара.
Трёхмерная сфера является компактным связным трёхмерным многообразием. Трёхмерная сфера односвязна, то есть любая замкнутая кривая на ней может быть непрерывно стянута в точку.
Трёхмерная сфера гомеоморфна одноточечной компактификации трёхмерного вещественного пространства .
Групповая структураправить код
Являясь множеством единичных кватернионов, трёхмерная сфера наследует групповую структуру.
Таким образом, сфера является группой Ли. Среди -мерных сфер таким свойством обладают только и .
Используя матричное представление кватернионов, можно определить представление группы с помощью матриц Паули:
Поэтому группа изоморфна матричной группе Ли .
Действие группы U(1) и расслоение Хопфаправить код
Если определить действие группы :
то пространство орбит гомеоморфно двумерной сфере . При этом на сфере возникает структура расслоения с базой и слоями, гомеоморфными , то есть окружности . Это расслоение называется расслоением Хопфа.[1]
Расслоение Хопфа является примером нетривиального главного расслоения. В координатах оно задаётся формулой
Точка (z1, z2) сферы отображается в точку [z1: z2] комплексной проективной прямой CP1, которая диффеоморфна двумерной сфере .
Гомотопические группы сферыправить код
Односвязность сферы означает, что первая гомотопическая группа . Также нулевой является группа .
Примечанияправить код
См. такжеправить код
Литератураправить код
- Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М., 1989.
Ссылкиправить код
- Weisstein, Eric W. Hypersphere (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. (англ.) Примечание: В данной статье используются альтернативные схемы именования для сфер, в которых сфера в N-мерном пространстве называется N-сферой.