Шар

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Площадь поверхности ${\displaystyle S}$ и объём ${\displaystyle V}$ шара радиуса ${\displaystyle r}$ (и диаметром ${\displaystyle d=2r}$ ) определяются формулами:

• ${\displaystyle S=\ 4\pi r^{2}}$

• ${\displaystyle S=\ \pi d^{2}}$

• ${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

• ${\displaystyle V={\frac {\pi d^{3}}{6}}}$

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Пусть дано метрическое пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$ . Тогда

• Шаром (или открытым шаром) с центром в точке ${\displaystyle x_{0}\in X}$ и радиусом ${\displaystyle r>0}$ называется множество

${\displaystyle B_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<r\}.}$

• Замкнутым шаром с центром в ${\displaystyle x_{0}}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ называется множество

${\displaystyle D_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})\leqslant r\}.}$

Замечания

Шар радиуса ${\displaystyle r}$ с центром ${\displaystyle x_{0}}$ также называют ${\displaystyle r}$ -окрестностью точки ${\displaystyle x_{0}}$ .

• Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой ${\displaystyle \rho }$ .
• Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой ${\displaystyle \rho }$ .
• По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке ${\displaystyle X}$ являют собой её базу.
• Очевидно, ${\displaystyle B_{r}(x_{0})\subset D_{r}(x_{0})}$ . Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром: ${\displaystyle {\overline {B_{r}(x_{0})}}\neq D_{r}(x_{0}).}$
  • Например: пусть ${\displaystyle (X,\rho )}$  — дискретное метрическое пространство, и ${\displaystyle X}$ состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого ${\displaystyle x\in X}$ имеем:

${\displaystyle B_{1}(x)=\{x\},\;{\overline {B_{1}(x)}}=\{x\},\;D_{1}(x)=X.}$

Объём

Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:^[1]

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n},}$

где Γ — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:

${\displaystyle V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k}}$ ,

${\displaystyle V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}}$ .

Знаком !! здесь обозначен двойной факториал.

Эти формулы также можно свести в одну общую:

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {2^{\left[{\frac {n+1}{2}}\right]}\pi ^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}}{n!!}}R^{n}}$ .

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

${\displaystyle R_{n}(V)={\frac {\Gamma (n/2+1)^{1/n}}{\sqrt {\pi }}}V^{1/n}}$ .

Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:

${\displaystyle R_{2k}(V)={\frac {(k!V)^{1/2k}}{\sqrt {\pi }}}}$ ,

${\displaystyle R_{2k+1}(V)=\left({\frac {(2k+1)!!V}{2^{k+1}\pi ^{k}}}\right)^{1/(2k+1)}}$ .

Рекурсия

Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности ${\displaystyle n-2}$ (при условии, что они имеют одинаковый радиус):

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R)}$ .

Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:

${\displaystyle V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}V_{n-1}(R)}$ .

То же без гамма-функции:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}(R)&=R\pi {\frac {(2k-1)!!}{2^{k}k!}}V_{2k-1}(R)=R\pi {\frac {(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}}V_{2k-1}(R),\\V_{2k+1}(R)&=2R{\frac {2^{k}k!}{(2k+1)!!}}V_{2k}(R)=2R{\frac {(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}{(2k+1)(2k-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}V_{2k}(R).\end{aligned}}}$

Пространства младших размерностей

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Кол-во измерений	Объём шара радиуса R	Радиус шара объёма V
1	${\displaystyle 2R}$	${\displaystyle V/2}$
2	${\displaystyle \pi R^{2}}$	${\displaystyle {\frac {V^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}}$
3	${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}R^{3}}$	${\displaystyle \left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{1/3}}$
4	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}}$	${\displaystyle {\frac {(2V)^{1/4}}{\sqrt {\pi }}}}$
5	${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}}$	${\displaystyle \left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{1/5}}$
6	${\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}}$	${\displaystyle {\frac {(6V)^{1/6}}{\sqrt {\pi }}}}$
7	${\displaystyle {\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}}$	${\displaystyle \left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\right)^{1/7}}$
8	${\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}}$	${\displaystyle {\frac {(24V)^{1/8}}{\sqrt {\pi }}}}$
9	${\displaystyle {\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}}$	${\displaystyle \left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\right)^{1/9}}$
10	${\displaystyle {\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}}$	${\displaystyle {\frac {(120V)^{1/10}}{\sqrt {\pi }}}}$

Пространства старших размерностей

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

• Пусть ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$  — евклидово пространство с обычным евклидовым расстоянием. Тогда

• если ${\displaystyle d=1}$ (пространство — прямая), то

${\displaystyle B_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|<r\}=\left(x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right),}$

${\displaystyle D_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|\leq r\}=\left[x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right].}$

 — открытый и замкнутый отрезок соответственно.

• если ${\displaystyle d=2}$ (пространство — плоскость), то

  ${\displaystyle B_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<r\right\},}$

  ${\displaystyle D_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leq r\right\}}$

 — открытый и замкнутый диск соответственно.

• если ${\displaystyle d=3}$ , то

  ${\displaystyle B_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}<r\right\},}$

  ${\displaystyle D_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}\leq r\right\}}$

 — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

• В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ метрику следующим образом:

  ${\displaystyle \rho (x,y)=\sum \limits _{i=1}^{d}\|x_{i}-y_{i}\|,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{d})^{\top },y=(y_{1},\ldots ,y_{d})^{\top }\in \mathbb {R} ^{d}.}$

Тогда

• если ${\displaystyle d=2}$ , то ${\displaystyle U_{r}(x_{0})}$  — это открытый квадрат с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и сторонами длины ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ , расположенными по диагонали к координатным осям.
• если ${\displaystyle d=3}$ , то ${\displaystyle U_{r}(x_{0})}$  — это открытый трёхмерный октаэдр.

• Шаровой слой
• Гиперсфера
• Сферический слой

• Шар, геометрическое тело // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

• Вычисление объема и площади шара  (неопр.). Дата обращения: 12 марта 2012. Архивировано из оригинала 8 августа 2011 года.
• Онлайн-калькуляторы  (неопр.). Дата обращения: 2 июля 2019. Архивировано из оригинала 9 января 2019 года.
• Математические этюды  (неопр.). Дата обращения: 20 октября 2011. Архивировано из оригинала 18 октября 2011 года. Мультфильм про объём шара