Petriejev mnogokotnik

Petriejev mnogokotnik za pravilne politope z razsežnostjo $n$ je nagnjeni mnogokotnik v katerih vsaka zaporedna stranica (n - 1) pripada eni od facet. Petriejev mnogokotnik pravilnega mnogokotnika je sam po sebi pravilen mnogokotnik. Tako je za pravilni polieder nagnjeni mnogokotnik tisti, ki mu za vsaki dve zaporedni stranici (ne pa tri) pripada ena od stranskih ploskev.^[1]

Za vsak pravilni politop obstaja pravokotna projekcija na ravnino tako, da Petriejev mnogokotnik postane pravilni mnogokotnik.

Petriejevi mnogokotniki so neravninski mnogokotniki, katerih robovi so podmnožica robov poliedrov.^[2]

Ravnina, ki se jo obravnava, je Coxeterjeva ravnina s simetrijsko grupo mnogokotnika in s številom stranic $h$ , ki so Coxeterjeva števila Coxeterjeve grupe. Ti mnogokotniki in projicirani grafi so zelo uporabni za predstavo o strukturi simetrije za politope v višjih razsežnostih.

Zgodovina

John Flinders Petrie (1907–1972) je bil prvi, ki je spoznal pomembnost poševnih mnogokotnikov. Po njem se tudi imenujejo mnogokotniki. Bil je edini sin egiptologa Flindersa Petrieja (1853–1942).

Petriejevi mnogokotniki pravilnih poliedrov

Petriejev mnogokotnik pravilnega poliedra {p, q} s h stranicami je:

cos²(π/h) = cos²(π/p) + cos²(π/q).

Pravilna duala {p, q} in {q, p} sta v istem projiciranem Petriejevem mnogokotniku.

Petriejevi mnogokotniki za pravilne poliedre (rdeči mnogokotniki)

tetraeder	kocka	oktaeder	dodekaeder	ikozaeder

centrirano na stranico	centrirano na oglišče	centrirano na stransko ploskev	centrirano na stransko ploskev	centrirano na oglišče
4 stranice	6 stranic	6 stranic	10 stranic	10 stranic
V:(4,0)	V:(6,2)	V:(6,0)	V:(10,10,0)	V:(10,2)
Petriejevi mnogokotniki so zunanjost teh ortogonalnih projekcij. Modro kaže "sprednje" robove, črne črte kažejo zadnje robove. Koncentrični obroč oglišč se šteje od zunanje strani navznoter z oznako: V:(a, b, ...) in se konča z nič, če ni središčnega oglišča.

Petriejevi mnogokotniki pravilnih polihoronov (4-politopov)

{3,3,3} 5-celica 5 stranskih ploskev V:(5,0)	{3,3,4} 16-celica 8 stranskih ploskev V:(8,0)	{4,3,3} teserakt 8 stranskih ploskev V:(8,8,0)
{3,4,3} 24-celica 12 stranskih ploskev V:(12,6,6,0)	{5,3,3} 120-celica 30 stranskih ploskev V:((30,60)³,60³,30,60,0)	{3,3,5} 600-celica 30 stranskih ploskev V:(30,30,30,30,0)

Projekcije Petriejevih mnogokotnikov pravilnih in uniformnih politopov

Projekcije Petriejevih mnogokotnikov so ena izmed najbolj uporabnih načinov za prikaz politopov, ki imajo razsežnost štiri in več. V spodnji preglednici so prikazane projekcije Petriejevih mnogokotnikov treh družin simpleksov, hiperkock in ortopleksov ter posebnih Liejevih grup E_n, ki generirajo polpravilne in uniformne politope za razsežnosti od 4 do 8.

Pregled družin politopov

Coxeterjeva grupa

A_n

BC_n

D_n

E₆

E₇

E₈

F₄

G₂

H_n

2