Lambertserie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$

och mer allmänt

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}}$

där ${\displaystyle \alpha }$ är ett godtyckligt komplext tal och

${\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,}$

är sigmafunktionen.

Andra Lambertserier som innehåller aritmetiska funktioner är:

Möbiusfunktionen ${\displaystyle \mu (n)}$ :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q.}$

Eulers fi-funktion ${\displaystyle \phi (n)}$ :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}$

Liouvilles lambda-funktion ${\displaystyle \lambda (n)}$ :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}.}$

Genom att sätta ${\displaystyle q=e^{-z}}$ får man en annan form av serien:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}}$

där

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{d\mid m}a_{d}\,.}$

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Lambert series, 16 november 2013.