Littles lag

Kunder anländer inom tidsintervallet ${\displaystyle [0,t]}$ där

${\displaystyle \alpha (t)}$ - antal kunder som kommit till systemet (och ej avvisats) i intervallet ${\displaystyle [0,t]}$ .

${\displaystyle \delta (t)}$ - antalet kunder som lämnat systemet och blivit färdigbetjänade i ${\displaystyle [0,t]}$

${\displaystyle N(t)=\alpha (t)-\delta (t)}$ antalet kunder i systemet vid tidpunkten t.

${\displaystyle \gamma (t)=}$ total tid som alla kunder tillsammans tillbringat i systemet under intervallet ${\displaystyle [0,t]}$

Eftersom ${\displaystyle \alpha (t)}$ är definierad som antal ankomster till systemet i intervallet ${\displaystyle [0,t]}$ kan vi skriva medelantal ankomster per tidsenhet under intervallet som

${\displaystyle \lambda _{t}=\alpha (t)/t}$

Medeltid i systemet per kund i intervallet ${\displaystyle [0,t]}$ ges av

${\displaystyle T_{t}=\gamma (t)/\alpha (t)}$

eller uttryckt i ord

${\displaystyle T_{t}=}$ Summan av alla tider kunder har tillbringat i systemet under tidsintervallet ${\displaystyle [0,t]}$ , genom antalet ankomster till systemet under ${\displaystyle [0,t]}$

Låt nu ${\displaystyle {\bar {N_{t}}}}$ vara medelantal kunder i systemet i intervallet ${\displaystyle [0,t]}$ . Vi inser att ${\displaystyle {\bar {N_{t}}}=\gamma (t)/t}$ , genom att förlänga med ${\displaystyle {\alpha (t) \over \alpha (t)}}$ (= 1), kan skrivas

${\displaystyle {\bar {N_{t}}}={\gamma (t) \over \alpha (t)}\cdot {\alpha (t) \over t}={\bar {T_{t}}}\cdot \lambda _{t}}$

Låter vi nu ${\displaystyle t}$ gå mot oändligheten och förutsätter att gränsvärdena existerar

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\bar {N_{t}}}=\lim _{t\to \infty }{\bar {T_{t}}}\cdot \lim _{t\to \infty }\lambda _{t}}$

Antag enligt ovan att

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\lambda _{t}=\lambda _{eff}<\infty }$

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }T_{t}=T<\infty }$

och inför beteckningen

${\displaystyle {\bar {N}}=\lim _{t\to \infty }{\bar {N_{t}}}}$

Vi kan då skriva:

${\displaystyle {\bar {N}}=\lambda _{eff}\cdot T}$

vilket är Littles sats.