Euler formülü

Formülün yorumlanması

Bu formül e^{i${\displaystyle \varphi }$} fonksiyonunun bir birim karmaşık sayı olarak düşünülmesiyle yorumlanabilir, yani bu fonksiyon ${\displaystyle \varphi }$ farklı gerçek sayı değerleri aldıkça karmaşık sayılar düzleminde bir birim çember çizer. Burada ${\displaystyle \varphi }$ orijin ile çember üzerindeki bir noktayı birleştiren bir çizginin yaptığı açıyı temsil eder ve birimi radyandır.

Orijinal kanıt ${\displaystyle e^{z}}$ üstel fonksiyonunun Taylor serisiyle yapılan açılımından ve ${\displaystyle sinx}$ ile ${\displaystyle cosx}$ fonksiyonlarından gelir, burada ${\displaystyle z}$ bir karmaşık sayı ve ${\displaystyle x}$ bir gerçek sayıdır. Aslında bu kanıt aynı zamanda Euler formülünün ${\displaystyle x}$ 'in alabileceği bütün karmaşık sayı değerleri için de geçerli olduğunu gösterir.

Karmaşık sayılar düzlemindeki bir nokta kartezyen koordinatlarda yazılmış bir karmaşık sayı ile gösterilebilir. Euler formülü kartezyen koordinatlarla kutupsal koordinatlar arasında geçiş yapılmasını sağlar.

Bu basit türev denklemlerini kullanarak,

1. ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(nx)=n\cos(nx)}$
2. ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(nx)=-n\sin(nx)}$
3. ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{nx}=ne^{nx}}$

Euler formülünün iki tarafının türevini alalım:

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{inx}=ine^{inx}=in\cos(nx)-n\sin(nx)}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\cos(nx)+i\sin(nx))=in\cos(nx)-n\sin(nx)}$

Görüyoruz ki denklemin iki tarafının da türevini aldığımızda aynı sonucu bulduk, ki bu bizim teoremimizi ispatlar.

Euler formülü'nde x yerine

${\displaystyle \ln(x)\!}$ ,

${\displaystyle e^{ix}\!}$ ,

${\displaystyle ix+e^{ix}\!}$ ,

${\displaystyle x^{i}\!}$

gibi değişkenler konularak yeni bağıntılar türetilebilir.Bu bağıntılardan yaralanılarak yeni trigonometrik bağıntılara varılabilir ve yine bir kümenin alt küme sayılarını veren Bell sayıları'nı veren üreteç fonksiyonu'nde kompleks değişken verilerek trigonometrik analog'u bulunabilir.Aşağıda belirtilen gösterim şekilleri benzeştiği temel fonksiyon'a göredir:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\!}$

ifadesinde x yerine ${\displaystyle \ln(x)\,n\!}$ konursa

${\displaystyle x^{i\,n}=\cos(\ln(x)\,n)+i\sin(\ln(x)\,n)\!}$

ve bu bu ifade yukardakinin daha genel şeklidir.

${\displaystyle \cos(\ln(x)\,n)={\frac {x^{i\,n}+x^{-i\,n}}{2}}\!}$ ,

${\displaystyle \sin(\ln(x)\,n)={\frac {x^{i\,n}-x^{-i\,n}}{2\,i}}\!}$ elde edilir

(n sabit bir sayı veya herhangi bir fonksiyon olabilir.)

ayrıca yukardaki bağıntılar yardımıyla

${\displaystyle \sum _{n=0}^{k}\ x^{i\,n}=\sum _{n=0}^{k}\cos(\ln(x)\,n)+i\sin(\ln(x)\,n)}$

toplamıda bulunabilir.x yerine x^{i} konursa

${\displaystyle \sum _{n=0}^{k}x^{i\,n}={\frac {1-x^{i\,(k+1)}}{1-x^{i}}}\!}$

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\!}$

temel eşitliği üs alınarak elde edilebilen özdeşliklerdir.

${\displaystyle e^{e^{ix}}=e^{\cos x+i\sin x\,}\!}$

${\displaystyle e^{e^{ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))+i\sin(\sin(x))}]\!}$

${\displaystyle e^{e^{-ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))-i\sin(\sin(x))}]\!}$

${\displaystyle e^{\cos x\,}\,{\cos(\sin(x))}={\frac {(e^{e^{ix}}+e^{e^{-ix}})}{2}}\!}$

${\displaystyle e^{\cos x\,}\,{\sin(\sin(x))}={\frac {(e^{e^{ix}}-e^{e^{-ix}})}{2i}}\!}$

x yerine

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-x\!}$ konursa;

${\displaystyle e^{\sin x\,}\,{\cos(\cos(x))}={\frac {(e^{-i\,e^{ix}}+e^{i\,e^{-ix}})}{2}}\!}$

${\displaystyle e^{\sin x\,}\,{\sin(\cos(x))}={\frac {(e^{-i\,e^{ix}}-e^{i\,e^{-ix}})}{2i}}\!}$

${\displaystyle tan(sin(x))=i{\frac {(e^{e^{ix}}-e^{e^{-ix}})}{(e^{e^{ix}}+e^{e^{-ix}})}}\!}$

${\displaystyle tan(cos(x))=i{\frac {(e^{-ie^{ix}}-e^{ie^{-ix}})}{(e^{-ie^{ix}}+e^{ie^{-ix}})}}\!}$

x-->ln(x) alınırsa

${\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\cos(\sin(\ln(x)))}={\frac {e^{x^{i}}+e^{x^{-i}}}{2}}=\cos(i\,x^{i})\!}$

${\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\sin(\sin(\ln(x)))}={\frac {e^{x^{i}}-e^{x^{-i}}}{2i}}=\sin(i\,x^{i})\!}$

${\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\cos(\cos(\ln(x)))}={\frac {e^{-i\,x^{i}}+e^{i\,x^{-i}}}{2}}=\cos(x^{i})\!}$

${\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\sin(\cos(\ln(x)))}={\frac {e^{-i\,x^{i}}-e^{i\,x^{-i}}}{2i}}=\sin(x^{i})\!}$

Üslerin toplamına göre

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\!}$

${\displaystyle e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)\!}$

ve

${\displaystyle e^{e^{ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))+i\sin(\sin(x))}]\!}$

${\displaystyle e^{e^{-ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))-i\sin(\sin(x))}]\!}$

yardımıyla karma bağıntılar elde edilebilir.

${\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}+e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+x)\!}$

${\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}-e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+x)\!}$

sonuç olarak

${\displaystyle {\frac {e^{e^{ix}+ix}+e^{e^{-ix}-ix}}{2}}=e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+x)\!}$

${\displaystyle {\frac {e^{e^{ix}+ix}-e^{e^{-ix}-ix}}{2\,i}}=e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+x)\!}$

elde edilir.

${\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}+e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+x)\!}$

${\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}-e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+x)\!}$

ifadesinde üs ifadesindeki x yerine y koyarak formülü daha da genelleştirebiliriz.Çünkü köşeli parantezin dışında üsse cos(x) ve x bağımsız olarak konup birleştirilmiştir,cos(x) değiştirilmezken x yerine y konabilir.

${\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+y)}+e^{-i(\sin(x)+y)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+y)\!}$

${\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+y)}-e^{-i(\sin(x)+y)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+y)\!}$

Üslerin çarpımına göre

Buradaki ifadeler

${\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=e^{ix[\cos(x)+i\sin(x)]}\!}$

${\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=e^{-ix[\cos(x)-i\sin(x)]}\!}$

veya

${\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=[\cos(x)+i\sin(x)]^{[\cos(x)+i\sin(x)]}\!}$

${\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=[\cos(x)-i\sin(x)]^{[\cos(x)-i\sin(x)]}\!}$

eşitliğidir.

${\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=e^{ix\cos(x)-xsin(x)}\!}$

${\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=e^{-ix\cos(x)-xsin(x)}\!}$

${\displaystyle e^{-x\sin(x)}{\cos(x\cos(x))}={\frac {e^{ix(e^{ix})}+e^{-ix(e^{-ix})}}{2}}=\cos(xe^{ix})\!}$

${\displaystyle e^{-x\sin(x)}{\sin(x\cos(x))}={\frac {e^{ix(e^{ix})}-e^{-ix(e^{-ix})}}{2\,i}}=\sin(xe^{ix})\!}$

x yerine -x konursa;

${\displaystyle e^{-x\sin(x)}{(-\sin(x\cos(x)))}={\frac {e^{-ix(e^{-ix})}-e^{ix(e^{ix})}}{2\,i}}=\sin(xe^{-ix})\!}$

${\displaystyle \cos(xe^{ix})+\sin(xe^{-ix})={e^{-x\sin(x)}}{[{\cos(x\cos(x))}-{\sin(x\cos(x))}]}\!}$

Eric Temple Bell'e atfedilmiştir.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.}$

• Doğal logaritma
• Üstel fonksiyon
• Euler özdeşliği
• Bell Sayıları
• Bell serisi
• Leonhard Euler
• Bessel fonksiyonları