Вільна абелева група
Вільна абелева група — абелева група, кожен елемент якої може бути однозначно представлений у вигляді лінійної комбінації елементів деякої множини з цілочисловими коефіцієнтами. Як і у випадку з векторними просторами, дану множину називають базисом.
Вільні абелеві групи не є вільними групами, за винятком циклічної групи і тривіальної групи, що складається з одного елемента.
Властивості
- Будь-які два базиси вільних абелевих груп є рівнопотужними. Потужність базису вільної абелевої групи називається рангом абелевої групи.
- Для довільного кардинального числа
існує вільна абелева група рангу
.
- Нехай
— вільна абелева група і
— абелева група. Якщо існує епіморфізм
, то існує підгрупа
групи
ізоморфна групі
така, що
.
- Будь-яка абелева група
гомоморфним образом вільної абелевої групи. Крім того, якщо група
має множину генераторів потужності
то вона є гомоморфним образом вільної абелевої групи рангу
. Як наслідок будь-яка абелева група ізоморфна факторгрупі вільної абелевої групи.
- Підгрупа вільної абелевої групи теж є вільною абелевою групою.
Скінченнопороджені вільні абелеві групи
У випадку скінченнопородженої вільної абелевої групи (ранг якої є деяким натуральним числом) можна дати повнішу характеристику підгруп. Нехай — вільна абелева група зі скінченним рангом n. Тоді підгрупа
цієї групи є вільною абелевою групою рангу
і можна вибрати такий базис
групи
і натуральні числа
що
- Множина
є базисом підгрупи
ділиться на
для всіх
Доведення
Якщо є групою рангу 1, тобто нескінченною циклічною групою, то твердження одержується із характеристики підгруп циклічних груп. За індукцією припустимо, що твердження доведено для всіх вільних абелевих груп рангу менше n і
є вільною абелевою групою рангу n. Для кожного базису
і елемента
у єдиний спосіб можна записати
де всі
є цілими числами.
Нехай тепер є підгрупою групи
і
є мінімальним додатним цілим числом серед тих, що є коефіцієнтами у записі будь-якого елемента
через будь-який базис
групи
. Якщо перепозначити елементи і індекси базису можна записати:
Також
для
Якщо позначити то
є базисом групи
і
Згідно вибору числа тоді всі
і
Нехай тепер позначає циклічну групу породжену елементом
і
є підгрупою
елементи якої записуються як комбінації елементів
базису. Тоді
Оскільки є базисом групи
, то довільний елемент
є рівним
Елемент
Якщо для
то елемент
записується через базис
як
і тому і відповідно
а тому
Відповідно кожен елемент
є рівним сумі
, де
і
Група — підгрупа
породжена елементами
базису є вільною групою рангу n - 1 і
є підгрупою у
. Згідно припущення індукції
є вільною групою деякого рангу s - 1 і існує базис
групи
і числа
що
є базисом групи
і
ділиться на
для всіх
Тоді
є базисом групи
, а
є базисом групи
Також
ділить
. Справді, якщо
, для
то у базисі
елемент
записується як
Із мінімальності
випливає, що
і
Відповідно базис групи
і числа
(для яких
є базисом) задовільняють умови твердження.
Приклади
- Група
цілих чисел з додаванням. Базисом цієї групи може бути одна з множин
.
- Адитивна група кільця многочленів з цілими коефіцієнтами. Базисом цієї групи є, наприклад множина
.
Джерела
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
- Джозеф Ротман[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)
- Phillip A. Griffith (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.