Пластичне число

Пластичне число є границею відношення послідовних членів послідовностей Падована і Перрена і має для них такий самий сенс, як золотий перетин для послідовності Фібоначчі і срібний перетин для чисел Пелля.

Пластичне число також є коренем рівнянь:

${\displaystyle x^{5}=x^{4}+1}$

${\displaystyle x^{5}=x^{2}+x+1}$

${\displaystyle x^{5}=x^{4}+x^{3}-x}$

${\displaystyle x^{6}=x^{2}+2x+1}$

і т. д.

Пластичне число подається у вигляді нескінченно вкладених радикалів:

${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{\cdots }}}}}}}}}$ .

Теорія чисел

Оскільки пластичне число має мінімальний многочлен x³ − x − 1 = 0, воно також є коренем поліноміальних рівнянь p(x) = 0 для всіх поліномів p, кратних x³ − x − 1, але не будь-яких інших поліномів з цілими коефіцієнтами. Оскільки дискримінант його найменшого полінома дорівнює −23, його поле розкладу над полем раціональних чисел є ℚ(√−23, ρ). Це поле також є полем класів Гільберта ℚ(√−23).

Пластичне число є найменшим числом Пізо. Його спряженими елементами є

${\displaystyle \left(-{\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\mp {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}\approx -0.662359\pm 0.56228i,}$

з модулем ≈ 0.868837 (послідовність A191909 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Це значення також дорівнює 1/√ρ оскільки добуток трьох коренів мінімального многочлена дорівнює 1.

Тригонометрія

Пластикове число можна записати за допомогою гіперболічного косинуса (cosh) та його оберненої функції:

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{c}}\cosh \left({\tfrac {1}{3}}\cosh ^{-1}(3c)\right),\qquad c=\cos \left({\tfrac {2\pi }{12}}\right)=\sin \left({\tfrac {2\pi }{6}}\right)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\,.}$

Геометрія

Існує рівно три способи поділу квадрата на три подібні прямокутники:^[1][2]

1. Тривіальним випадком є три конгруентні прямокутники із відношенням сторін 3:1.
2. Розв'язок, за якого два з трьох прямокутників однакові, а третій має подвоєні, порівняно з ними, довжини сторін; відношення сторін 3:2.
3. Розв'язок за якого всі три прямокутники мають різні розміри і відношення сторін ρ². Відношення лінійних розмірів трьох прямокутників: ρ (великий: середній), ρ² (середній: малий) і ρ³ (великий: малий). Внутрішня довга сторона найбільшого прямокутника (лінія розрізу квадрата) ділить два з чотирьох ребер квадрата на два відрізки, відношення довжин яких дорівнює ρ. Внутрішня коротка сторона середнього прямокутника і довга сторна малого прямокутника ділить одну з інших сторін квадрата на два відрізки, відношення довжин яких дорівнює ρ⁴.

Той факт, що прямокутник з відношенням сторін ρ² можна використати для розрізання квадратів на подібні прямокутники, еквівалентний алгебраїчній властивості числа ρ² пов'язаній з теоремою Рауса — Гурвіца: всі спряжені з ним числа мають додатну дійсну частину^[3][4].

• Midhat J. Gazalé. Gnomon. — Princeton University Press, 1999.
• Padovan, Richard (2002), «Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number», Nexus IV: Architecture and Mathematics, Kim Williams Books, pp. 181—193.
• Shannon, A. G.; Anderson, P. G.; Horadam, A. F. Properties of Cordonnier, Perrin and Van der Laan numbers // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. — 2006. — Т. 37, № 7 (26 May). — С. 825—831. — DOI:10.1080/00207390600712554.
• Ян Стюарт^[en], Tales of a Number Neglected
• Piezas, Tito III; van Lamoen, Floor; Weisstein, Eric W. Пластичне число(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.