Número plástico

As duas soluções conjugadas complexas de

${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$

são

${\displaystyle \left(-{\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\mp {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}\approx -0{,}6626\pm 0{,}5623i}$

e podem ser expressas em função do número plástico ${\displaystyle \psi }$ como

${\displaystyle -{\frac {\psi }{2}}\pm i{\sqrt {\frac {3-\psi }{4\psi }}}}$  .

Como o produto das três soluções da equação cúbica é 1, a função modular da solução complexa é ${\displaystyle \psi ^{-1/2}\approx 0{,}86883696183}$   (sequência A191909 na OEIS).

O número plástico é o limite do quociente de membros sucessivos da sequência de Padovan^[1]

${\displaystyle \psi =\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}}$