Подвійне число Мерсенна

Перші чотири члени послідовності подвійних чисел Мерсенна є^[1] (послідовність A077586 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):

${\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}$

${\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}$

${\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}$

${\displaystyle M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727}$

Подвійне число Мерсенна, яке є простим, називається подвійним простим числом. Оскільки число Мерсенна M_p може бути простим, лише якщо p є простим (див. просте число Мерсенна^[en] для доказу), подвійне число Мерсенна Число ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ може бути простим, лише якщо M_p саме по собі є простим числом Мерсенна. Для перших значень p, для яких M_p є простим, ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ , як відомо, просте для p = 2, 3, 5, 7, тоді як явні дільники ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ були знайдені для p = 13, 17, 19 та 31

${\displaystyle p}$	${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}$	${\displaystyle M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1}$	Розклад ${\displaystyle M_{M_{p}}}$
2	3	просте	7
3	7	просте	127
5	31	просте	2147483647
7	127	просте	170141183460469231731687303715884105727
11	не просте	не просте	47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × …
13	8191	не просте	338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × …
17	131071	не просте	231733529 × 64296354767 × …
19	524287	не просте	62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × …
23	не просте	не просте	2351 × 4513 × 13264529 × 76899609737 × …
29	не просте	не просте	1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 4126110275598714647074087 × …
31	2147483647	не просте	295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × …
37	не просте	не просте
41	не просте	не просте
43	не просте	не просте
47	не просте	не просте
53	не просте	не просте
59	не просте	не просте
61	2305843009213693951	невідомо

Таким чином, найменшим кандидатом на наступне подвійне просте число Мерсенна є ${\displaystyle M_{M_{61}}}$ , або 2^{2305843009213693951} − 1. Будучи приблизно 1,695× 10^{694127911065419641}, це число занадто велике для будь-якого відомого на даний момент теста простоти. У нього немає основного дільника нижче 4 × 10³³.^[2] Є імовірність, що немає інших подвійних простих чисел Мерсенна, крім чотирьох відомих.^[1][3]

Найменшими простими множниками ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ (де p є n-им простим) є :7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, … (наступний терм > 4 × 10³³) (послідовність A309130 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Рекурсивно визначена послідовність

${\displaystyle c_{0}=2}$

${\displaystyle c_{n+1}=2^{c_{n}}-1=M_{c_{n}}}$

називається послідовністю чисел Каталана-Мерсенна.^[4] Першими членами послідовності є (послідовність A007013 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):

${\displaystyle c_{0}=2}$

${\displaystyle c_{1}=2^{2}-1=3}$

${\displaystyle c_{2}=2^{3}-1=7}$

${\displaystyle c_{3}=2^{7}-1=127}$

${\displaystyle c_{4}=2^{127}-1=170141183460469231731687303715884105727}$

${\displaystyle c_{5}=2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\approx 5.454\times 10^{51217599719369681875006054625051616349}\approx 10^{10^{37.7094}}}$

Ежен Шарль Каталан^[en] відкрив цю послідовність після відкриття простоти ${\displaystyle M_{127}=c_{4}}$ Едуаром Люка у 1876.^[1][5] Каталан припустив, що вони є простими «до певної межі». Хоча перші п'ять членів є простими, жодні відомі методи не можуть довести, що будь-які подальші члени є простими (у будь-який розумний час) просто тому, що вони занадто великі. Однак, якщо ${\displaystyle c_{5}}$ не є простим, є шанс виявити це, обчисливши ${\displaystyle c_{5}}$ за невеликим простим модулем ${\displaystyle p}$ (з використанням рекурсивного піднесення до степеня по модулю^[en]). Якщо отриманий залишок дорівнює нулю, ${\displaystyle p}$ представляє дільник ${\displaystyle c_{5}}$ і, це таким чином, спростує його простоту. Оскільки ${\displaystyle c_{5}}$ є числом Мерсенна, такий простий множник ${\displaystyle p}$ мав би мати вигляд ${\displaystyle 2kc_{4}+1}$ . Крім того, оскільки ${\displaystyle 2^{n}-1}$ є складеним, коли ${\displaystyle n}$ є складеним, виявлення складеного члена в послідовності виключає можливість будь-яких інших простих чисел в послідовності.

У фільмі Futurama Звір з мільярдом спин, подвійне число Мерсенна ${\displaystyle M_{M_{7}}}$ коротко видно у «елементарному доказі гіпотези Гольдбаха ». У фільмі це число відоме як «марсіанське просте».

• Ланцюг Каннінгема^[en]
• Подвійна експоненційна функція^[en]
• Числа Ферма
• Досконале число
• Просте число Віферіха

(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on observe que 2² − 1, 2³ − 1, 2⁷ − 1 sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à une certaine limite, si 2ⁿ − 1 est un nombre premier p, 2^p − 1 est un nombre premier p', 2^p' − 1 est un nombre premier p", etc. Cette proposition a quelque analogie avec le théorème suivant, énoncé par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: Si n est une puissance de 2, 2ⁿ + 1 est un nombre premier. (E. C.)