У теорії міри Теоремою Фубіні , Теоремою Тонеллі , Теоремою Тонеллі — Фубіні називається ряд пов'язаних тверджень, що зводять обчислення подвійного інтеграла на добутку мір до обчислення повторних інтегралів. Також термін теорема Фубіні використовуються для різних теорем математичного аналізу про рівність подвійних і повторних інтегралів, які по-суті є частковими випадками загальних тверджень.
Теореми названі на честь італійських математиків Гвідо Фубіні і Леоніда Тонеллі.
Формулювання
Теорема Фубіні Нехай ( X , F 1 , μ 1 ) , ( Y , F 2 , μ 2 ) {\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}}_{1},\;\mu _{1}),\;(Y,\;{\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{2})} — два простори з сигма-скінченною мірою , а ( X × Y , F 1 ⊗ F 2 , μ 1 ⊗ μ 2 ) {\displaystyle (X\times Y,\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \mu _{2})} — їх добуток мір . Нехай функція f : X × Y → R {\displaystyle f\colon X\times Y\to \mathbb {R} } інтегровна щодо міри μ 1 ⊗ μ 2 {\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}} , тобто вимірна і також ∫ X × Y | f ( x , y ) | d ( x , y ) < ∞ {\displaystyle \int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)<\infty } . Тоді
функція x → ∫ Y f ( x , y ) d y {\displaystyle x\to \int \limits _{Y}f(x,\;y)\,{\text{d}}y} визначена майже скрізь і інтегровна щодо μ 1 {\displaystyle \mu _{1}} ; функція y → ∫ X f ( x , y ) d x {\displaystyle y\to \int \limits _{X}f(x,\;y)\,{\text{d}}x} визначена майже скрізь і інтегровна щодо μ 2 {\displaystyle \mu _{2}} ; і також виконуються рівності ∫ X ( ∫ Y f ( x , y ) d y ) d x = ∫ Y ( ∫ X f ( x , y ) d x ) d y = ∫ X × Y f ( x , y ) d ( x , y ) . {\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}
Теорема Тонеллі Нехай у тих же припущеннях щодо просторів з мірою, що і вище функція f : X × Y → [ 0 , + ∞ ] {\displaystyle f:X\times Y\rightarrow [0,+\infty ]} є вимірною і невід'ємною. Тоді
функція x → ∫ X 2 f ( x , y ) d y {\displaystyle x\to \int \limits _{X_{2}}f(x,\;y)\,{\text{d}}y} визначена і інтегровна щодо μ 1 {\displaystyle \mu _{1}} ; функція x → ∫ X 1 f ( x , y ) d x {\displaystyle x\to \int \limits _{X_{1}}f(x,\;y)\,{\text{d}}x} визначена і інтегровна щодо μ 2 {\displaystyle \mu _{2}} ; і також виконуються рівності ∫ X ( ∫ Y f ( x , y ) d y ) d x = ∫ Y ( ∫ X f ( x , y ) d x ) d y = ∫ X × Y f ( x , y ) d ( x , y ) . {\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}
Теорема Тонеллі — Фубіні Об'єднуючи результати двох попередніх теорем можна також отримати ще один пов'язаний результат.
Нехай у тих же припущеннях щодо просторів з мірою, що і вище функція f : X × Y → R {\displaystyle f:X\times Y\to \mathbb {R} } є вимірною і якийсь з інтегралів
∫ X ( ∫ Y | f ( x , y ) | d y ) d x {\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x} ∫ Y ( ∫ X | f ( x , y ) | d x ) d y {\displaystyle \int _{Y}\left(\int _{X}|f(x,y)|\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y} ∫ X × Y | f ( x , y ) | d ( x , y ) {\displaystyle \int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)} є скінченним.Тоді
∫ X ( ∫ Y f ( x , y ) d y ) d x = ∫ Y ( ∫ X f ( x , y ) d x ) d y = ∫ X × Y f ( x , y ) d ( x , y ) . {\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}
Формулювання в теорії ймовірностей В термінах теорії ймовірностей твердження теореми Фубіні можна подати так.Нехай ( Ω i , F i , P i ) , i = 1 , 2 {\displaystyle (\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mathbb {P} _{i}),\;i=1,\;2} — ймовірнісні простори , і X : Ω 1 × Ω 2 → R {\displaystyle X\colon \Omega _{1}\times \Omega _{2}\to \mathbb {R} } — випадкова величина на ( Ω 1 × Ω 2 , F 1 ⊗ F 2 , P 1 ⊗ P 2 ) {\displaystyle (\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2})} . Тоді
E P 1 ⊗ P 2 [ X ] = E P 1 [ E P 2 [ X ] ] = E P 2 [ E P 1 [ X ] ] , {\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2}}[X]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}[X]\right]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}[X]\right],} де індекс позначає ймовірнісну міру , щодо якої береться математичне очікування .
Доведення теореми Фубіні Нижче наведено доведення рівності ∫ X ( ∫ Y f ( x , y ) d y ) d x = ∫ X × Y f ( x , y ) d ( x , y ) {\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y)} та існування першого інтегралу. Рівність для іншого повторного інтеграла і відповідно рівність між самими повторними інтегралами доводиться аналогічно.
Розглянемо спочатку випадок невід'ємної вимірної функції f визначеної на ( X × Y , F 1 ⊗ F 2 , μ 1 ⊗ μ 2 ) {\displaystyle (X\times Y,\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \mu _{2})} . Для множини E ⊂ X × Y {\displaystyle E\subset X\times Y} проста функція 1 E {\displaystyle \mathbf {1} _{E}} задовольняє рівність:
( 1 E ) x = 1 E x , ∀ x ∈ X , {\displaystyle (\mathbf {1} _{E})_{x}=\mathbf {1} _{E_{x}},\;\forall x\in X,}
де E x = { y ∈ Y ∣ ( x , y ) ∈ E ) } {\displaystyle E_{x}=\{y\in Y\mid (x,\;y)\in E)\}} — перетин E {\displaystyle E} вздовж x ∈ Y {\displaystyle x\in Y} , а для довільної функції g визначеної на X × Y {\displaystyle X\times Y} позначення ( g ) x , x ∈ X {\displaystyle (g)_{x},x\in X} позначає функцію-переріз визначену на Y , як ( g ) x ( y ) = g ( x , y ) , ∀ y ∈ Y . {\displaystyle (g)_{x}(y)=g(x,y),\;\forall y\in Y.}
З означень інтегралів, характеристичних функцій, добутків мір, а також попередньої рівності отримуємо:
∫ X × Y 1 E d ( x , y ) = μ 1 ⊗ μ 2 ( E ) = ∫ X μ 2 ( E x ) d x = ∫ X ( ∫ Y 1 E x d y ) d x . {\displaystyle \int _{X\times Y}\mathbf {1} _{E}\,{\text{d}}(x,y)=\mu _{1}\otimes \mu _{2}(E)=\int \limits _{X}\mu _{2}(E_{x})\,{\text{d}}x=\int _{X}\left(\int _{Y}\mathbf {1} _{E_{x}}\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x.}
Це разом із лінійністю інтегралів доводить твердження для простих невід'ємних вимірних функцій.
Для довільної невід'ємної вимірної функції f існує послідовність ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} неспадних простих вимірних функцій, що поточково збігаються до f. Для довільного x ∈ X {\displaystyle x\in X}
послідовність ( f x ) n {\displaystyle (f_{x})_{n}} є неспадною послідовністю простих вимірних функцій, що поточково сходяться до функції f x . {\displaystyle f_{x}.} Згідно теореми Леві про монотонну збіжність:
lim n → ∞ ∫ X × Y f n ( x , y ) d ( x , y ) = ∫ X × Y f ( x , y ) d ( x , y ) < ∞ , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X\times Y}f_{n}(x,y)\,{\text{d}}(x,y)=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y)<\infty ,}
Також зважаючи, що функції ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} — прості, то з попереднього
∫ X × Y f n ( x , y ) d ( x , y ) = ∫ X ( ∫ Y ( f x ) n ( y ) d y ) d x . {\displaystyle \int _{X\times Y}f_{n}(x,y)\,{\text{d}}(x,y)=\int _{X}\left(\int _{Y}(f_{x})_{n}(y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x.}
Послідовність функцій x → ∫ Y ( f x ) n ( y ) d y {\displaystyle x\to \int _{Y}(f_{x})_{n}(y)\,{\text{d}}y} є неспадною послідовністю невід'ємних F 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}} - вимірних функцій і згідно теореми Леві про монотонну збіжність їх поточкова границя рівна ∫ Y f x ( y ) d y {\displaystyle \int _{Y}f_{x}(y)\,{\text{d}}y} і теж є F 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}} - вимірною функцією. Зважаючи на ці властивості за допомогою повторного застосування теореми Леві про монотонну збіжність отримуємо рівність:
lim n → ∞ ∫ X ( ∫ Y ( f x ) n ( y ) d y ) d x = ∫ X ( ∫ Y f x ( y ) d y ) d x , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}\left(\int _{Y}(f_{x})_{n}(y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{X}\left(\int _{Y}f_{x}(y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x,}
яка завершує доведення для випадку невід'ємної вимірної функції f. Внутрішній інтеграл є скінченним майже скрізь оскільки в іншому випадку загальний вираз не міг би бути скінченним.
Для довільної вимірної функції f, що задовольняє умови теореми її можна записати як f = f + − f − , {\displaystyle f=f_{+}-f_{-},} де f + , f − {\displaystyle f_{+},f_{-}} — невід'ємні вимірні функції для яких також ∫ X × Y f + d ( x , y ) < ∞ {\displaystyle \int _{X\times Y}f_{+}\,{\text{d}}(x,y)<\infty } і ∫ X × Y f − d ( x , y ) < ∞ . {\displaystyle \int _{X\times Y}f_{-}\,{\text{d}}(x,y)<\infty .}
Справедливість теореми Фубіні для загального випадку є таким чином наслідком теореми для випадку невід'ємних функцій і лінійності інтегралів.
Математичний аналіз Теормін теорема Фубіні часто використовується в математичному аналізі для тверджень про рівність між двовимірними і повторними інтегралами, хоча ці результати були відомі задовго до Фубіні і Тонеллі.
У найпростішому випадку твердження можна подати так.Нехай f : D = [ a , b ] × [ c , d ] → R {\displaystyle f\colon D=[a,\;b]\times [c,\;d]\to \mathbb {R} } — функція двох дійсних змінних , інтегровна за Ріманом на прямокутнику [ a , b ] × [ c , d ] {\displaystyle [a,\;b]\times [c,\;d]} , тобто f ∈ R ( D ) {\displaystyle f\in \mathbb {R} (D)} . Тоді
∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ a b [ ∫ c d f ( x , y ) d y ] d x = ∫ c d [ ∫ a b f ( x , y ) d x ] d y , {\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,\;y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left[\int \limits _{c}^{d}f(x,\;y)\,dy\right]\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left[\int \limits _{a}^{b}f(x,\;y)\,dx\right]\,dy,} де інтеграл у лівій стороні двовимірний, а інші повторні одновимірні.
Доведення Будь-яке розбиття λ {\displaystyle \lambda } множини [ a , b ] × [ c , d ] {\displaystyle [a,\;b]\times [c,\;d]} отримується деякими розбиттями λ x {\displaystyle \lambda _{x}} відрізка X = [ a , b ] {\displaystyle X=[a,\;b]} і λ y {\displaystyle \lambda _{y}} відрізка [ c , d ] {\displaystyle [c,\;d]} , при цьому площа кожного прямокутника X i × Y j {\displaystyle X_{i}\times Y_{j}} визначається як V ( X i × Y j ) = | X i | ⋅ | Y j | {\displaystyle V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)=\left|X_{i}\right|\cdot \left|Y_{j}\right|} , де X i , Y j {\displaystyle X_{i},Y_{j}} ? деякі відрізки розбиттів.
Тоді можна дати оцінку для інтеграла
∫ X d x [ ∫ Y f ( x , y ) d y ] ( ∗ ) {\displaystyle \int \limits _{X}dx\left[\int \limits _{Y}f\left(x,y\right)\,dy\right]\quad (*)} і нижніх і верхніх інтегральних сум функції L ( f , λ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left(f,\lambda \right)} и U ( f , λ ) {\displaystyle {\mathcal {U}}\left(f,\lambda \right)} : L ( f , λ ) = ∑ i , j inf x ∈ X i , y ∈ Y j f ( x , y ) V ( X i × Y j ) ≤ ∑ i inf x ∈ X i ( ∑ i inf y ∈ Y j f ( x , y ) | Y j | ) | X i | {\displaystyle {\mathcal {L}}\left(f,\lambda \right)=\sum \limits _{i,j}\inf \limits _{x\in X_{i},y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\leq \sum \limits _{i}\inf \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\inf \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|} ∑ i inf ( ∫ Y f ( x , y ) d y ) | X i | ≤ ∫ X d x ∫ Y f ( x , y ) d y ≤ ∑ i sup ( ∫ Y f ( x , y ) d y ) | X i | {\displaystyle \sum \limits _{i}\inf \left(\int \limits _{Y}f\left(x,y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|\leq \int \limits _{X}\,dx\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\leq \sum \limits _{i}\sup \left(\int \limits _{Y}f\left(x,y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|} U ( f , λ ) = ∑ i , j sup x ∈ X i , y ∈ Y j f ( x , y ) V ( X i × Y j ) ≥ ∑ i sup x ∈ X i ( ∑ i sup y ∈ Y j f ( x , y ) | Y j | ) | X i | {\displaystyle {\mathcal {U}}\left(f,\lambda \right)=\sum \limits _{i,j}\sup \limits _{x\in X_{i},y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\geq \sum \limits _{i}\sup \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\sup \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|} При інтегровності f {\displaystyle f} на X × Y {\displaystyle X\times Y} , тобто рівності sup λ L ( f , λ ) = inf λ U ( f , λ ) {\displaystyle \sup \limits _{\lambda }\,{\mathcal {L}}\left(f,\lambda \right)=\inf \limits _{\lambda }\,{\mathcal {U}}\left(f,\lambda \right)} інтеграл ( ∗ ) {\displaystyle (*)} також існує і має таке ж значення, як і ∬ X × Y f ( x , y ) d x d y . {\displaystyle \iint \limits _{X\times Y}f(x,\;y)\,dx\,dy.}
Приклади необхідності умов теореми
Функції з нескінченним інтегралом Розглянемо функцію
∫ [ 0 , 1 ] 2 x 2 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 d ( x , y ) . {\displaystyle \int _{[0,1]^{2}}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} (x,y).} Для неї не виконується вимога скінченності інтегралу: ∫ [ 0 , 1 ] 2 | x 2 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 | d ( x , y ) = + ∞ . {\displaystyle \int _{[0,1]^{2}}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right|\mathrm {d} (x,y)=+\infty .} Твердження теореми Фубіні для цієї функції не буде справедливим оскільки:
∫ 0 1 [ ∫ 0 1 x 2 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 d y ] d x = π 4 {\displaystyle \int _{0}^{1}\left[\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} y\right]\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4}}} але ∫ 0 1 [ ∫ 0 1 x 2 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 d x ] d y = − π 4 . {\displaystyle \int _{0}^{1}\left[\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} x\right]\mathrm {d} y=-{\frac {\pi }{4}}.}
Добуток не сигма-скінченних мір Розглянемо добуток двох множин I = [ 0 , 1 ] {\displaystyle I=[0,1]} .На першій задамо звичайну міру Лебега λ , {\displaystyle \lambda ,} а на іншій — лічильну міру m {\displaystyle m} на алгебрі всіх підмножин інтервалу. Лічильна міра не є сигма-скінченною .
Якщо позначити Δ = { ( x , x ) ∣ x ∈ [ 0 , 1 ] } ⊂ I 2 {\displaystyle \scriptstyle \Delta =\{(x,x)\mid x\in [0,1]\}\subset I^{2}} — діагональ, то характеристична функція 1 Δ є вимірною .
Для повторних інтегралів маємо : ∫ I [ ∫ I 1 Δ ( x , y ) d y ] d x = ∫ I [ ∫ I 1 { x } ( y ) d y ] d x = ∫ I m ( { x } ) d x = λ ( I ) = 1 {\displaystyle \int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\Delta }(x,y)~\mathrm {d} y\right]~\mathrm {d} x=\int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\{x\}}(y)~\mathrm {d} y\right]~\mathrm {d} x=\int _{I}m(\{x\})~\mathrm {d} x=\lambda (I)=1} і : ∫ I [ ∫ I 1 Δ ( x , y ) d x ] d y = ∫ I [ ∫ I 1 { y } ( x ) d x ] d y = ∫ I λ ( { y } ) d y = ∫ I 0 d y = 0. {\displaystyle \int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\Delta }(x,y)~\mathrm {d} x\right]~\mathrm {d} y=\int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\{y\}}(x)~\mathrm {d} x\right]~\mathrm {d} y=\int _{I}\lambda (\{y\})~\mathrm {d} y=\int _{I}0~\mathrm {d} y=0.}
Дані інтеграли відрізняються оскільки один з вимірних просторів не є сигма-скінченним.
Див. також
Джерела Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика . — Київ : ВПЦ Київський університет , 2007. — 504 с.Дороговцев, А. Я. (1989), Элементы общей теории меры и интеграл , К.: Вища школа, с. 152, ISBN 5-11-001190-7 Cohn, Donald L. (1997) [1980], Measure theory (вид. reprint), Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag, с. IX+373, ISBN 3-7643-3003-1