Турнір (теорія графів)

Турнір — це орієнтований граф, отриманий з неорієнтованого повного графа призначенням напрямку кожному ребру. Таким чином, турнір — це орграф, у якому кожна пара вершин з'єднана однією напрямленою дугою.

Багато важливих властивостей турнірів розглянув Ландау (H. G. Landau)^[1], досліджуючи модель домінування курчат у зграї. Нині турніри застосовують для досліджень у галузі голосування і колективного вибору^[en] серед інших речей. Ім'я турнір походить від графічної інтерпретації результатів кругового турніру, в якому кожен гравець зустрічається в сутичці з кожним іншим гравцем рівно раз, і в якому не може бути нічиєї. В орграфі турніру вершини відповідають гравцям. Дуга між кожною парою гравців орієнтована від переможця до переможеного. Якщо гравець ${\displaystyle a}$ перемагає гравця ${\displaystyle b}$, то кажуть, що ${\displaystyle a}$ домінує над ${\displaystyle b}$.

Шляхи й циклиред. код

Будь-який турнір зі скінченним числом ${\displaystyle n}$ вершин містить гамільтонів шлях, тобто орієнтований шлях, що містить усі ${\displaystyle n}$ вершин^[2]. Це легко показати за допомогою математичної індукції за ${\displaystyle n}$: нехай твердження істинне для ${\displaystyle n}$, і нехай є якийсь турнір ${\displaystyle T}$ з ${\displaystyle n+1}$ вершиною. Виберемо вершину ${\displaystyle v_{0}}$ у ${\displaystyle T}$ і нехай ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}}$ — напрямлений шлях у ${\displaystyle T\setminus \{v_{0}\}}$. Нехай ${\displaystyle i\in \{0,\ldots ,n\}}$ — найбільше число таке, що для будь-якого ${\displaystyle j\leq i}$ є дуга з ${\displaystyle v_{j}}$ в ${\displaystyle v_{0}}$. Тоді

${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{i},v_{0},v_{i+1},\ldots ,v_{n}}$

— шуканий орієнтований шлях. Це доведення дає також алгоритм пошуку гамільтонового шляху. Відомий ефективніший алгоритм, що вимагає перебору всього ${\displaystyle \ O(n\log n)}$ дуг^[3].

Це означає, що строго зв'язний турнір має гамільтонів цикл^[4]. Строгіше: будь-який сильно зв'язний турнір є вершинно панциклічним — для будь-якої вершини v і для будь-якого k від трьох до числа вершин у турнірі є цикл довжини k, що містить v^[5]. Більш того, якщо турнір 4-зв'язний, будь-яку пару вершин можна з'єднати гамільтоновим шляхом^[6].

Транзитивністьред. код

Турнір, у якому ${\displaystyle ((a\rightarrow b)}$ і ${\displaystyle (b\rightarrow c))}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle (a\rightarrow c)}$, називають транзити́вним. У транзитивному турнірі вершини можна повністю впорядкувати за досяжністю.

Еквівалентні умовиред. код

Такі твердження для турніру з n вершинами еквівалентні:

1. T — транзитивний.
2. T — ациклічний.
3. T не містить циклів довжини 3.
4. Послідовність числа виграшів (множина напіввиходів) T є {0,1,2,…,n − 1}.
5. T містить рівно один гамільтонів шлях.

Теорія Рамсеяред. код

Транзитивні турніри відіграють істотну роль у теорії Рамсея, аналогічну ролі, яку відіграють кліки в неорієнтованих графах. Зокрема, будь-який турнір з n вершинами містить транзитивний підтурнір з ${\displaystyle 1+\lfloor \log _{2}n\rfloor }$ вершинами^[7]. Доведення просте: виберемо будь-яку вершину v як частину цього підтурніру і побудуємо підтурнір рекурсивно на множині або вхідних сусідів вершини v, або на множині вихідних сусідів, залежно від того, яка множина більша. Наприклад, будь-який турнір зі сімома вершинами містить транзитивний турнір із трьома вершинами. Турнір Пелі зі сімома вершинами показує, що це найбільше, що можна гарантувати^[7]. Однак Рейд^[en] і Паркер^[en][8] показали, що ця межа не строга для деяких великих значень числа n.

Ердеш і Мозер^[en][7] довели, що існують турніри з n вершинами без транзитивних підтурнірів розміру ${\displaystyle 2+2\lfloor \log _{2}n\rfloor }$. Їх доведення використовує підрахунок^[en]: число варіантів, у яких транзитивний турнір з k вершинами може міститися в більшому турнірі з n позначеними вершинами, дорівнює

${\displaystyle {\binom {n}{k}}k!2^{{\binom {n}{2}}-{\binom {k}{2}}},}$

і при k, що перевищує ${\displaystyle 2+2\lfloor \log _{2}n\rfloor }$, це число занадто мале, щоб транзитивний турнір опинився в кожному з ${\displaystyle 2^{\binom {n}{2}}}$ різних турнірів однієї й тієї ж множини з n позначених вершин.

Парадоксальні турніриред. код

Гравець, який виграв усі ігри, природно, буде переможцем турніру. Однак, як показує існування нетранзитивних турнірів, такого гравця може не виявитися. Турнір, у якому кожен гравець програє хоча б одну гру називають 1-парадоксальним турніром. Узагальнюючи, турнір T=(V,E) називають k-парадоксальним, якщо для будь-якої k-елементної підмножини S множини V існує вершина v₀ у ${\displaystyle V\setminus S}$, така що ${\displaystyle v_{0}\rightarrow v}$ для всіх ${\displaystyle v\in S}$. За допомогою імовірнісного методу Ердеш показав, що для будь-якого фіксованого k за умови |V| ≥ k²2^kln(2 + o(1)) майже будь-який турнір на V є k-парадоксальним^[9]. З іншого боку, простий аргумент показує, що будь-який k-парадоксальний турнір повинен мати щонайменше 2^k+1 − 1 гравців, що покращили до (k + 2)2^k−1 − 1 Естер^[en] і Дьйордь Секереші (1965)^[10]. Існує явний метод побудови k- парадоксальних турнірів з k²4^k−1(1 + o(1)) гравцями, розроблений Гремом і Спенсером^[en], а саме, турнір Пелі^[11].

Конденсаціяред. код

Конденсація^[en] будь-якого турніру є транзитивним турніром. Таким чином, навіть якщо турнір не є транзитивним, сильно зв'язні компоненти турніру можуть бути повністю упорядкованими^[12].

Послідовності результатів і множини результатівред. код

Послідовність результатів турніру — це послідовність напівстепенів виходу вершин турніру. Множина результатів турніру — це множина цілих чисел, що є напівстепенями виходу вершин турніру.

Теорема Ландау (1953) — неспадна послідовність цілих чисел ${\displaystyle (s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n})}$ є послідовністю результатів тоді й лише тоді, коли:

1. ${\displaystyle 0\leq s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots \leq s_{n}}$
2. ${\displaystyle s_{1}+s_{2}+\cdots +s_{i}\geq {i \choose 2},}$ задля ${\displaystyle i=1,2,\cdots ,n-1}$
3. ${\displaystyle s_{1}+s_{2}+\cdots +s_{n}={n \choose 2}.}$

Нехай ${\displaystyle s(n)}$ — число різних послідовностей результатів розміру ${\displaystyle n}$. Послідовність ${\displaystyle s(n)}$ починається з:

1, 1, 1, 2, 4, 9, 22, 59, 167, 490, 1486, 4639, 14 805, 48 107, …

(послідовність A000571 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Вінстон і Клейтман довели, що для досить великих n

${\displaystyle s(n)>c_{1}4^{n}n^{-{5 \over 2}},}$

де ${\displaystyle c_{1}=0.049.}$ Такач^[en] пізніше показав^[13], використовуючи деяке правдоподібне, але недоведене припущення, що

${\displaystyle s(n)<c_{2}4^{n}n^{-{5 \over 2}},}$

де ${\displaystyle c_{2}<4,858.}$

Разом це свідчить про те, що

${\displaystyle s(n)\in \Theta (4^{n}n^{-{5 \over 2}}).}$

Тут ${\displaystyle \Theta }$ відбиває асимптотично строгу межу.

Яо показав^[14], що будь-яка непорожня множина невід'ємних цілих чисел є множиною результатів для деякого турніру.

Див. такожред. код

• Орієнтований граф
• Турнір Пелі
• Гіпотеза Самнера
• Універсальний граф

Приміткиред. код

Нормативний контроль BNF: 12265666t · FAST: 1153245 · Freebase: /m/050pjt · GND: 4473306-9 · J9U: 987007544535305171 · LCCN: sh97007070 · NKC: ph274756