Узагальнена дисперсія

Для коваріаційної матриці ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ загальної сукупності узагальнену дисперсію визначають як її визначник, тобто,^[1]

${\displaystyle {\text{узагальнена дисперсія}}={\begin{vmatrix}\mathbf {\Sigma } \end{vmatrix}}}$ .

І навпаки, ви́біркову узагальнену дисперсію визначають як ${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {S} \end{vmatrix}}}$ . В цьому випадку ${\displaystyle \mathbf {S} }$ подає ви́́біркову коваріаційну матрицю^[de].

Ви́біркова узагальнена дисперсія має геометричну інтерпретацію. Розширення еліпса на понад два виміри називають гіпереліпсоїдом. p-вимірний гіпереліпсоїд ${\displaystyle \left(\mathbf {y} -{\overline {\mathbf {y} }}\right)^{\top }\mathbf {S} ^{-1}\left(\mathbf {y} -{\overline {\mathbf {y} }}\right)=a^{2}}$ з центром в ${\displaystyle {\overline {\mathbf {y} }}}$ та на основі ${\displaystyle \mathbf {S} ^{-1}}$ для стандартизації відстані до центру містить підмножину спостережень ${\displaystyle \mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\ldots ,\mathbf {y} _{n}}$ вибірки. Еліпсоїд ${\displaystyle \left(\mathbf {y} -{\overline {\mathbf {y} }}\right)^{\top }\mathbf {S} ^{-1}\left(\mathbf {y} -{\overline {\mathbf {y} }}\right)=a^{2}}$ має осі, пропорційні квадратним кореням з власних значень ви́біркової коваріаційної матриці. Можливо показати, що об'єм цього еліпсоїда пропорційний ${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {S} \end{vmatrix}}^{-1/2}}$ .^[1]