Đại số phổ dụng

Đại số

Một đại số phổ dụng, gọi tắt là đại số là một cặp ${\displaystyle (A,\Omega )}$ , trong đó A là một tập hợp không rỗng, được gọi là tập nền và ${\displaystyle \Omega }$ là tập hợp (hữu hạn hoặc vô hạn) các phép toán trên A.

Phép toán

Phép toán n ngôi ${\displaystyle \omega }$ trên A với n ${\displaystyle \geq }$ 1, n ${\displaystyle \in \mathbb {N} }$ là ánh xạ:

${\displaystyle \omega :A^{n}\to A}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})\mapsto a_{1}a_{2}...a_{n}\omega }$

Trong đó, ký hiệu ${\displaystyle a_{1}a_{2}...a_{n}\omega }$ thay cho ${\displaystyle \omega (a_{1}a_{2}...a_{n})}$ là viết theo ký pháp Ba Lan. Để ký hiệu ${\displaystyle \omega }$ là phép toán n-ngôi ta viết ${\displaystyle \omega \in {\Omega }_{n}}$ Ta cũng gọi là phép toán không ngôi ${\displaystyle \omega \in {\Omega }_{0}}$ là phép chọn một phần tử cố định trong A, kết quả phép chọn ${\displaystyle \omega }$ được ký hiệu là 1${\displaystyle \omega }$

Kiểu của đại số

Cho ${\displaystyle (A,{\Omega _{A}})}$ là đại số với hữu hạn phép toán ${\displaystyle {\omega }_{1},...,{\omega }_{n}}$ . Dãy các ngôi của các phép toán đó ${\displaystyle (n({\omega }_{1}),...,n({\omega }_{1}))}$ được gọi là kiểu của đại số A.

• Toán học