Định lý lá cờ Anh

Hình chiếu của P tới các cạnh AB, BC, CD, và AD lần lượt là các điểm w, x, y và z. Khi đó wxyz là một tứ giác có hai đường chéo vuông góc

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AwP, và ta thấy wP = Az, do đó

• ${\displaystyle AP^{2}=Aw^{2}+wP^{2}=Aw^{2}+Az^{2}}$

tương tự ta có:

• ${\displaystyle PC^{2}=wB^{2}+zD^{2},}$
• ${\displaystyle BP^{2}=wB^{2}+Az^{2},}$ và
• ${\displaystyle PD^{2}=zD^{2}+Aw^{2}.}$

Do đó: ${\displaystyle AP^{2}+PC^{2}=(Aw^{2}+Az^{2})+(wB^{2}+zD^{2})}$ ${\displaystyle =(wB^{2}+Az^{2})+(zD^{2}+Aw^{2})=BP^{2}+PD^{2}}$

Một ứng dụng định lý là cờ nước anh như sau: Cho hai đa giác đều 2n cạnh là A₁A₂....A_2n và B₁B₂....B_2n khi đó tổng diện tích của hai tứ giác A_iA_i+1B_i+1B_i và A_i+nA_i+1+nB_i+1+nB_i+n là bằng nhau với mọi i=1,...,n. Kết quả này được chứng minh từ trường hợp hai hình chữ nhật đồng dạng.^[6]

Cho hai hình chữ nhật đồng dạng cùng hướng ABCD và A'B'C'D' khi đó ta có hệ thức:^[7]

${\displaystyle AA^{2}+CC^{2}=BB^{2}+DD^{2}}$

Rõ ràng khi một trong hai hình chữ nhật suy biến thành một điểm thì sẽ có định lý Lá Cờ Anh.