Chứng minh phương trình của Heisenberg Các giá trị kỳ vọng của 1 đại lượng quan sát A , mà là 1 toán tử tuyến tính Hermit cho 1 trạng thái | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle }
⟨ A ⟩ t = ⟨ ψ ( t ) | A | ψ ( t ) ⟩ . {\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A|\psi (t)\rangle .} trong Bức tranh Schrödinger, phát biểu | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } t liên quan đến phát biểu | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle }
| ψ ( t ) ⟩ = U ( t ) | ψ ( 0 ) ⟩ . {\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle .} nếu Hamiltonian không thay đổi theo thời gian, thì các toán tử thời gian vận động được viết bởi
U ( t ) = e − i H t / ℏ , {\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar },} nơi H là Hamiltonian và ħ là hằng số Planck thu gọn . Do đó,
⟨ A ⟩ t = ⟨ ψ ( 0 ) | e i H t / ℏ A e − i H t / ℏ | ψ ( 0 ) ⟩ . {\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .} xác định, sau đó,
A ( t ) := e i H t / ℏ A e − i H t / ℏ . {\displaystyle A(t):=e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }.} Nó xác định
d d t A ( t ) = i ℏ H e i H t / ℏ A e − i H t / ℏ + e i H t / ℏ ( ∂ A ∂ t ) e − i H t / ℏ + i ℏ e i H t / ℏ A ⋅ ( − H ) e − i H t / ℏ {\displaystyle {d \over dt}A(t)={i \over \hbar }He^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }+{i \over \hbar }e^{iHt/\hbar }A\cdot (-H)e^{-iHt/\hbar }} = i ℏ e i H t / ℏ ( H A − A H ) e − i H t / ℏ + e i H t / ℏ ( ∂ A ∂ t ) e − i H t / ℏ {\displaystyle ={i \over \hbar }e^{iHt/\hbar }\left(HA-AH\right)e^{-iHt/\hbar }+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }} = i ℏ ( H A ( t ) − A ( t ) H ) + e i H t / ℏ ( ∂ A ∂ t ) e − i H t / ℏ . {\displaystyle ={i \over \hbar }\left(HA(t)-A(t)H\right)+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }.} sự khác biệt dựa theo quy tắc nhân , trong đó ∂A /∂t là đạo hàm thời gian ban đầu A , không phải A(t) .
Do đó
d d t A ( t ) = i ℏ [ H , A ( t ) ] + e i H t / ℏ ( ∂ A ∂ t ) e − i H t / ℏ , {\displaystyle {d \over dt}A(t)={i \over \hbar }[H,A(t)]+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar },} phương trình được chứng minh A(t) xác định ở trên
e B A e − B = A + [ B , A ] + 1 2 ! [ B , [ B , A ] ] + 1 3 ! [ B , [ B , [ B , A ] ] ] + ⋯ . {\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots .} hàm chứa
A ( t ) = A + i t ℏ [ H , A ] − t 2 2 ! ℏ 2 [ H , [ H , A ] ] − i t 3 3 ! ℏ 3 [ H , [ H , [ H , A ] ] ] + … {\displaystyle A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A]]]+\dots } mối quan hệ này cũng được dùng cơ học cổ điển , theo giới hạn cổ điển ở trên
[ A , H ] ↔ i ℏ { A , H } {\displaystyle [A,H]\leftrightarrow i\hbar \{A,H\}} Trong cơ học cổ điển, của A không phụ thuộc vào thời gian,
{ A , H } = d d t A , {\displaystyle \{A,H\}={d \over dt}A~,} biểu thức A(t) là khai triển Taylor tại t = 0.
Bảng so sánh Evolution Picture of: Heisenberg Interaction Schrödinger Ket state hằng số | ψ I ( t ) ⟩ = e i H 0 , S t / ℏ | ψ S ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}~t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle } | ψ S ( t ) ⟩ = e − i H S t / ℏ | ψ S ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi _{S}(t)\rangle =e^{-iH_{S}~t/\hbar }|\psi _{S}(0)\rangle } Observable A H ( t ) = e i H S t / ℏ A S e − i H S t / ℏ {\displaystyle A_{H}(t)=e^{iH_{S}~t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{S}~t/\hbar }} A I ( t ) = e i H 0 , S t / ℏ A S e − i H 0 , S t / ℏ {\displaystyle A_{I}(t)=e^{iH_{0,S}~t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{0,S}~t/\hbar }} hằng số Density matrix hằng số ρ I ( t ) = e i H 0 , S t / ℏ ρ S ( t ) e − i H 0 , S t / ℏ {\displaystyle \rho _{I}(t)=e^{iH_{0,S}~t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0,S}~t/\hbar }} ρ S ( t ) = e − i H S t / ℏ ρ S ( 0 ) e i H S t / ℏ {\displaystyle \rho _{S}(t)=e^{-iH_{S}~t/\hbar }\rho _{S}(0)e^{iH_{S}~t/\hbar }}
Xem thêm Tham khảo Cohen-Tannoudji, Claude (1977). Quantum Mechanics (Volume One) . Bernard Diu, Frank Laloe. Paris: Wiley. tr. 312–314. ISBN 0-471-16433-X Albert Messiah, 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons. Tham khảo Liên kết ngoài 
![{\displaystyle {d \over dt}A(t)={i \over \hbar }[H,A(t)]+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9885516eb343c4690fdbc87b7a017539e58776)
![{\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c351669f8ac33b836e1d1b36985b97fc396e3968)
![{\displaystyle A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A]]]+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/589541a52527e0544734e8461358318712493162)
![{\displaystyle [A,H]\leftrightarrow i\hbar \{A,H\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9ce3bead15d2ebeb1c6fb1ba093b9633721fdf)
