Giải tích lồi

Tập lồi là một tập C ⊆ X, với X là một không gian vectơ, sao cho với mọi x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] thì^[1]

${\displaystyle \lambda x+(1-\lambda )y\in C}$ .

Hàm lồi là một hàm f : X → R ∪ {±∞} với giá trị thuộc tập số thực mở rộng thỏa mãn bất đẳng thức Jensen: với x, y ∈ X và λ ∈ [0, 1] ta có

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)}$ .^[1]

Nếu f cũng thỏa dạng ngặt của bất đẳng thức trên thì f được gọi là hàm lồi chặt.^[1]

Một cách tương đương, hàm lồi là hàm giá trị thực (mở rộng) có trên đồ thị

${\displaystyle \left\{(x,r)\in X\times \mathbf {R} :f(x)\leq r\right\}}$

là một tập lồi.^[1][2]

Hàm lồi liên hợp của một hàm giá trị thực mở rộng f : X → R ∪ {±∞} (không nhất thiết phải là hàm lồi) là hàm f* : X* → R ∪ {±∞} với X* là không gian đối ngẫu của X, và^[3]

${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)=\sup _{x\in X}\left\{\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\right\}.}$

Hàm song liên hợp

Hàm song liên hợp của một hàm f : X → R ∪ {±∞} là hàm liên hợp của hàm liên hợp, thường được viết là f** : X → R ∪ {±∞}. Hàm song liên hợp đóng vai trò hữu ích trong việc xác định khi nào xảy ra đối ngẫu mạnh hoặc đối ngẫu yếu (thông qua hàm nhiễu).

Với mọi x ∈ X, bất đẳng thức f**(x) ≤ f(x) được suy ra từ bất đẳng thức Young–Fenchel. Đối với hàm lồi chính thường, f = f** khi và chỉ khi f lồi và nửa liên tục dưới, theo định lý Fenchel–Moreau.^[3][4]

Bài toán cực tiểu hóa lồi (gốc) là một bài toán có dạng

${\displaystyle \inf _{x\in M}f(x)}$

sao cho f : X → R ∪ {±∞} là hàm lồi và M ⊆ X là một tập lồi.

Bài toán đối ngẫu

Trong lý thuyết tối ưu hóa, nguyên lý đối ngẫu phát biểu rằng các bài toán tối ưu có thể xem từ cả hai phía, phía bài toán gốc và phía bài toán đối ngẫu.

Tổng quát, cho hai cặp đối ngẫu các không gian lồi địa phương tách được (X, X*) và (Y, Y*). Với một hàm f : X → R ∪ {+∞} cho trước, ta có thể định nghĩa bài toán gốc là tìm x sao cho

${\displaystyle \inf _{x\in X}f(x).}$

Các điều kiện chế ước (nếu có) có thể được gắn vào hàm f bằng cách đặt f = f + I với I là hàm chỉ thị ứng với điều kiện đó. Gọi F : X × Y → R ∪ {±∞} là hàm nhiễu sao cho F(x, 0) = f(x).^[5]

Bài toán đối ngẫu ứng với hàm nhiễu đã chọn được cho bởi

${\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}\left(0,y^{*}\right)}$

với F* là hàm lồi liên hợp theo cả hai biến của F.

Khoảng cách đối ngẫu là hiệu giữa vế phải và vế trái của bất đẳng thức^[6][5][7]

${\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}\left(0,y^{*}\right)\leq \inf _{x\in X}F(x,0).}$

Nguyên lý này giống với nguyên lý về đối ngẫu yếu. Nếu cả hai vế bằng nhau thì bài toán được gọi là đạt đối ngẫu mạnh.

Có nhiều điều kiện để xảy ra đối ngẫu mạnh, chẳng hạn như:

• F = F** với F là hàm nhiễu liên hệ bài toán gốc và bài toán đối ngẫu, và F** là hàm song liên hợp của F;
• bài toán gốc là bài toán tối ưu hóa tuyến tính;
• điều kiện Slater đối với một bài toán tối ưu hóa lồi.^[8][9]

Đối ngẫu Lagrange

Đối với một bài toán cực tiểu hóa lồi với điều kiện ràng buộc viết dưới dạng bất đẳng thức,

min_x f(x) sao cho g_i(x) ≤ 0 với mọi i = 1, ..., m.

bài toán đối ngẫu Lagrange là

sup_u inf_x L(x, u) sao cho u_i(x) ≥ 0 với mọi i = 1, ..., m.

trong đó hàm mục tiêu L(x, u) là hàm đối ngẫu Lagrange được định nghĩa như sau:

${\displaystyle L(x,u)=f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)}$

• Bauschke, Heinz H.; Combettes, Patrick L. (28 tháng 2 năm 2017). Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces. CMS Books in Mathematics. Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-319-48311-5. OCLC 1037059594.
• Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (8 tháng 3 năm 2004). Convex Optimization. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge, U.K. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. OCLC 53331084.
• Đỗ Văn Lưu; Phan Huy Khải (2000). Giải tích lồi. Hà Nội: Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật.
• Hiriart-Urruty, J.-B.; Lemaréchal, C. (2001). Fundamentals of convex analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42205-1.
• Kusraev, A.G.; Kutateladze, Semen Samsonovich (1995). Subdifferentials: Theory and Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-94-011-0265-0.
• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 tháng 6 năm 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 317. Berlin, New York: Springer Science+Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (ấn bản 2). New York, NY: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Singer, Ivan (1997). Abstract convex analysis. Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts. New York: John Wiley & Sons, Inc. tr. xxii+491. ISBN 0-471-16015-6. MR 1461544.
• Stoer, J.; Witzgall, C. (1970). Convexity and optimization in finite dimensions. 1. Berlin: Springer. ISBN 978-0-387-04835-2.
• Zălinescu, Constantin (30 tháng 7 năm 2002). Convex Analysis in General Vector Spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556. OCLC 285163112 – qua Internet Archive.

• Tư liệu liên quan tới Convex analysis tại Wikimedia Commons