Phép đồng cấu

Phép đồng cấu là một ánh xạ giữa hai cấu trúc đại số cùng loại, bảo toàn các phép toán của cấu trúc. Điều này có nghĩa là một ánh xạ ${\displaystyle f:A\to B}$ giữa hai tập ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ được trang bị cùng một cấu trúc thoả mãn, nếu ${\displaystyle \cdot }$ là một phép toán của cấu trúc (để đơn giản hóa, ta giả sử nó là một phép toán hai ngôi), khi đó

${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$

cho mọi cặp ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ trong các phần tử của ${\displaystyle A}$ .^{[note 1]} Ta thường nói rằng ${\displaystyle f}$ bảo toàn phép toán hoặc tương thích với phép toán.

Về mặt hình thức, một ánh xạ ${\displaystyle f:A\to B}$ bảo tồn phép toán ${\displaystyle \mu }$ của ngôi k, được xác định trên cả hai ${\displaystyle A}$ và ${\displaystyle B}$ nếu

${\displaystyle f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k})),}$

với mọi ${\displaystyle a_{1},...,a_{k}}$ trong ${\displaystyle A}$ .

Các phép toán phải được bảo toàn bởi phép đồng cấu bao gồm các phép toán 0-ary, đó là các hằng số. Đặc biệt, khi cấu trúc yêu cầu phải bao gồm một phần tử đơn vị, phần tử đơn vị của cấu trúc đầu tiên phải được ánh xạ tới phần tử đơn vị tương ứng của cấu trúc thứ hai.

• Stanley N. Burris; H.P. Sankappanavar (2012). A Course in Universal Algebra (PDF). ISBN 978-0-9880552-0-9.
• Categories for the Working Mathematician, 1971, ISBN 0-387-90036-5
• A First Course in Abstract Algebra, 2003, ISBN 978-1-292-02496-7