Phiếm hàm tuyến tính

Cho ${\displaystyle K}$ là một trường số và ${\displaystyle V}$ là không gian vector của ${\displaystyle K}$ , một ánh xạ ${\displaystyle f:V\to K}$ được gọi là phiếm hàm tuyến tính, nếu tất cả vector ${\displaystyle x,y\in V}$ và đại lượng vô hướng ${\displaystyle \lambda \in K}$ thỏa:

• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$ (cộng tính);
• ${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda f(x)}$ (thuần nhất).

Phiếm hàm tích phân

Một ví dụ điển hình của phiếm hàm tuyến tính là phép tính tích phân: ánh xạ tuyến tính được cho bởi

${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Nó là một phiếm hàm tuyến tính từ không gian véc-tơ C[a, b] các hàm liên tục trên đoạn [a, b] vào các số thực. Tính tuyến tính của I là hệ quả của các tính chất sau của phép tính tích phân:

${\displaystyle {\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{aligned}}}$

Phiếm hàm đánh giá

Đặt P_n là không gian véc-tơ các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n. Nếu c ∈ [a, b], ta đặt ev_c: P_n → R

${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c).}$

và gọi nó là phiếm hàm đánh giá. Ánh xạ f → f(c) là tuyến tính bởi vì

${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}}$

• Michiel Hazewinkel: Linear form. Trong: Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).
• Walter Rudin: Functional Analysis, 2nd Ed., McGraw-Hill Inc., New York, 1991