Repunit

Số repunit cơ số b được định nghĩa như sau (giá trị b có thể âm hoặc dương)

${\displaystyle R_{n}^{(b)}\equiv 1+b+b^{2}+\cdots +b^{n-1}={b^{n}-1 \over {b-1}}\qquad {\mbox{với }}|b|\geq 2,n\geq 1.}$

Do đó, số R_n^(b) chỉ chứa n chữ số 1 trong biểu diễn cơ số b. Repunit cơ số b cho n = 1 và n = 2 là

${\displaystyle R_{1}^{(b)}={b-1 \over {b-1}}=1\qquad {\text{và}}\qquad R_{2}^{(b)}={b^{2}-1 \over {b-1}}=b+1\qquad {\text{với}}\ |b|\geq 2.}$

Còn đối với thường hợp hệ cơ số thập phân, các số repunit cơ số thập phân thường được gọi ngắn đi là số repunit và được định nghĩa như sau:

${\displaystyle R_{n}\equiv R_{n}^{(10)}={10^{n}-1 \over {10-1}}={10^{n}-1 \over 9}\qquad {\mbox{với }}n\geq 1.}$

Do vậy, R_n = R_n⁽¹⁰⁾ chỉ chứa n chữ số 1 trong biểu diễn cơ số 10. Dãy các số repunit cơ số 10 bắt đầu bằng:

1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, ... (dãy số A002275 trong bảng OEIS).

Tương tự như vậy, các số repunit cơ số 2 được định nghĩa như sau:

${\displaystyle R_{n}^{(2)}={2^{n}-1 \over {2-1}}={2^{n}-1}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.}$

Do đó, R_n⁽²⁾ chỉ chứa n chữ số 1 trong biểu diễn cơ số 2. Hơn nữa, các số repunit cơ số 2 là các số Mersenne M_n = 2ⁿ − 1, dãy số bắt đầu như sau

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, ... (dãy số A000225 trong bảng OEIS).

• Bất cứ repunit trong bất cứ cơ số nào có số chữ số là hợp số thì số đó cũng là hợp số. Chỉ có các số repunit (trong bất cứ cơ số nào) có số chữ số là số nguyên tố thì mới là số nguyên tố. Đây là điều kiện cần nhưng chưa đủ. Lấy ví dụ

  R₃₅^(b) = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 10000001000000100000010000001,

bởi 35 = 7 × 5 = 5 × 7. Phân tích thừa số của các số repunit không dựa vào cơ số b cho việc biểu diễn số đó.

• Nếu p là số nguyên tố lẻ, thì với mọi số nguyên tố q là ước của R_p^(b) đều phải hoặc là tổng của 1 cộng với bội của 2p, hoặc là ước của b − 1. Lấy ví dụ, ước nguyên tố của R₂₉ là 62003 = 1 + 2·29·1069. Lý do đứng đằng sau tính chất này là bởi p là số mũ nhỏ nhất lớn hơn 1 sao cho q là ước của b^p − 1, và bởi p là số nguyên tố. Do đó, trừ phi q là ước của b − 1, thì p là ước của hàm Carmichael của q, giá trị của hàm bằng với q − 1.
• Bất kỳ bội của R_n^(b) chứa ít nhất n chữ số khác không trong cơ số b.
• Bất kỳ số x là số repunit cơ số x − 1.
• Các số duy nhất được biết là có nhiều hơn 3 chữ số trong 2 hệ cơ số trở lên là số 31 (111 trong cơ số 5, 11111 trong cơ số 2) và 8191 (111 trong cơ số 90, 1111111111111 trong cơ số 2). Giả thuyết Goormaghtigh cho rằng đây là hai trường hợp duy nhất.
• Sử dụng nguyên lý ngăn kéo Dirichlet, ta dễ chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n và b nguyên tố cùng nhau, tồn tại số repunit cơ số b là bội của n. Để chứng minh, ta xét R₁^(b),...,R_n^(b). Bởi có n repunits nhưng chỉ có n−1 phần dư khác 0 khi chia n, tồn tại hai số R_i^(b) và R_j^(b) với 1 ≤ i < j ≤ n sao cho R_i^(b) và R_j^(b) đồng dư mô đun n. Từ đây dễ thấy rằng R_j^(b) − R_i^(b) sẽ dư 0 khi mô đun n, tức là chia hết cho n. Bởi R_j^(b) − R_i^(b) chứa j − i chũ số 1 rồi theo sau bởi i chữ số không, R_j^(b) − R_i^(b) = R_j−i^(b) × bⁱ. Vì n là ước của vế trái của phương trình, nên nó cũng là ước vế phải, nhưng vì n và b nguyên tố cùng nhau, n phải là ước của R_j−i^(b).
• Giả thuyết Feit–Thompson cho rằng R_q^(p) không bao giờ là ước của R_p^(q) với mọi hai số nguyên tố phân biệt p và q.
• Sử dụng thuật toán Euclid cho định nghĩa số repunit: R₁^(b) = 1; R_n^(b) = R_n−1^(b) × b + 1, bất kỳ cặp số repunit liên tiếp R_n−1^(b) và R_n^(b) đều nguyên tố cùng nhau cho mọi cơ số b và mọi giá trị n.
• Nếu m và n có ước chung d, R_m^(b) và R_n^(b) sẽ có ước chung R_d^(b) trong mọi cơ số b cho bất kỳ m và n. Nghĩa là, dãy các số repunit dưới một cơ số cố định sẽ lập thành dãy chia mạnh. Hệ quả từ đó là, nếu m và n nguyên tố cùng nhau thì R_m^(b) và R_n^(b) cũng nguyên tố cùng nhau. Thuật toán Euclid dựa trên tính chất gcd(m, n) = gcd(m − n, n) cho m > n. Tương tự như vậy, áp dụng R_m^(b) − R_n^(b) × b^m−n = R_m−n^(b), dễ thấy rằng gcd(R_m^(b), R_n^(b)) = gcd(R_m−n^(b), R_n^(b)) for m > n. Do đó, nếu gcd(m, n) = d, thì gcd(R_m^(b), R_n^(b)) = R_d^(b).

(Các ước nguyên tố được tô màu đỏ nghĩa là "ước nguyên tố mới", tức là các số nguyên tố là ước của R_n nhưng không phải là ước của R_k với mọi k < n) (dãy số A102380 trong bảng OEIS)^[2]

Dãy uớc nguyên tố nhỏ nhất của R_n với n > 1 là dãy số sau:

11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 1111111111111111111, 11, 3, 11, 11111111111111111111111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, ... (dãy số A067063 trong bảng OEIS)

Lý do các nhà toán học tiêu khiển định nghĩa số repunit là bởi họ muốn tìm hiểu các ước nguyên tố của các số đó.

Dễ chứng minh rằng nếu n chia hết cho a, thì R_n^(b) chia hết cho R_a^(b):

${\displaystyle R_{n}^{(b)}={\frac {1}{b-1}}\prod _{d|n}\Phi _{d}(b),}$

trong ${\displaystyle \Phi _{d}(x)}$ là đa thức cyclotomic thứ d và d chạy trên các ước của n. Khi p là số nguyên tố,

${\displaystyle \Phi _{p}(x)=\sum _{i=0}^{p-1}x^{i},}$

có dạng của số repunit khi x được thay bằng b.

Lấy ví dụ, 9 chia hết cho 3, nên R₉ chia hết cho R₃—cụ thể hơn, 111111111 = 111 · 1001001. Đa thức cyclotomic tương ứng là ${\displaystyle \Phi _{3}(x)}$ và ${\displaystyle \Phi _{9}(x)}$ , tức ${\displaystyle x^{2}+x+1}$ và ${\displaystyle x^{6}+x^{3}+1}$ tương ứng. Do đó, để R_n là số nguyên tố, thì n phải là số nguyên tố, nhưng điều kiện này chưa đủ. Lấy ví dụ, R₃ = 111 = 3 · 37 không phải là số nguyên tố. Ngoại trừ trường hợp R₃ ra, p chỉ có thể là ước của R_n với n là số nguyên tố nếu p = 2kn + 1 với một số giá trị k.

Số nguyên tố repunit cơ số thập phân

R_n là số nguyên tố khi n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081 ... (dãy A004023 trong OEIS). R₈₆₄₅₃ là số có thể nguyên tố. Vào ngày 3 tháng 4 năm 2007, Harvey Dubner (đồng thời là người tìm ra R₄₉₀₈₁) công bố rằng R₁₀₉₂₉₇ là số có thể nguyên tố.^[3] Rồi đến ngày 15 tháng 7 cùng năm, Maksym Voznyy công bố rằng R₂₇₀₃₄₃ là số có thể nguyên tố.^[4] Serge Batalov và Ryan Propper tìm ra rằng R_5794777 và R_8177207 là số có thể nguyên tố vào ngày 20 tháng 4 và ngày 8 tháng 5 trong cùng năm 2021, tương ứng.^[5] Vào thời điểm họ tìm ra, đây cũng là các số có thể nguyên tố lớn nhất. Vào ngày 22 tháng 3 năm 2022 số có thể nguyên tố R₄₉₀₈₁ cũng được chứng minh là số nguyên tố.^[6]

Hiện ta đang có giả thuyết rằng sẽ có vô số số nguyên tố repunit^[7] và có vẻ mật độ của nó sẽ dựa trên định lý số nguyên tố tiên đoán: số mũ của số nguyên tố repunit thứ N thường nằm quanh bội của số nguyên tố repunit thứ N-1.

Số nguyên tố repunit là tập con tầm thường của số nguyên tố hoán vị, số nguyên số hoán vị là các số nguyên tố giữ tính nguyên tố bất kể hoán vị các chữ số trong đó.

Số repunit cơ số thập phân có tính chất cơ bản rằng, nếu số chữ số tức n là bội của 3 hoặc 9 thì số đó cũng là bội của R₃ hoặc R₉ tương ứng. Thật vậy, bởi 10^a ≡ 1 (mod 9), và 10^a ≡ 1 (mod 3) với bất kỳ a ≥ 0 nên

• n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 0 (mod R₃),
  n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R_n ≡ R₁ ≡ 1 (mod R₃),
  n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R_n ≡ R₂ ≡ 11 (mod R₃).
  Do đó, 3 | n ⇔ 3 | R_n ⇔ R₃ | R_n.
• n ≡ r (mod 9) ⇔ R_n ≡ r (mod 9) ⇔ R_n ≡ R_r (mod R₉),
  với 0 ≤ r < 9.
  Do đó, 9 | n ⇔ 9 | R_n ⇔ R₉ | R_n.

Số nguyên tố repunit cơ số 2

Các số nguyên tố repunit cơ số 2 được gọi là số nguyên tố Mersenne.

Số nguyên tố repunit cơ số 3

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 3 là

13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013 (dãy số A076481 trong bảng OEIS),

tương ứng với ${\displaystyle n}$ bằng

3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, ... (dãy số A028491 trong bảng OEIS).

Số nguyên tố repunit cơ số 4

Số nguyên tố repunit duy nhất cơ số 4 là số 5 (${\displaystyle 11_{4}}$ ). ${\displaystyle 4^{n}-1=\left(2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right)}$ , và 3 là ước của ${\displaystyle 2^{n}+1}$ khi n lẻ và của ${\displaystyle 2^{n}-1}$ khi n chẵn. Khi n lớn hơn 2 thì cả ${\displaystyle 2^{n}+1}$ và ${\displaystyle 2^{n}-1}$ đều lớn hơn 3, do đó bỏ đi 3 vẫn để lại hai ước nguyên tố khác lớn hơn 1. Do đó không tồn tại số nguyên tố repunit cơ số 4 nào khác ngoài số 5 .

Số nguyên tố repunit cơ số 5

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 5 là

31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, 815663058499815565838786763657068444462645532258620818469829556933715405574685778402862015856733535201783524826169013977050781 (dãy số A086122 trong bảng OEIS),

tương ứng với ${\displaystyle n}$ bằng

3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, ... (dãy số A004061 trong bảng OEIS).

Số nguyên tố repunit cơ số 6

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 6 là

7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, 133733063818254349335501779590081460423013416258060407531857720755181857441961908284738707408499507 (dãy số A165210 trong bảng OEIS),

tương ứng với ${\displaystyle n}$ bằng

2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, ... (dãy số A004062 trong bảng OEIS).

Số nguyên tố repunit cơ số 7

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 7 là

2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,
138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601

tương ứng với ${\displaystyle n}$ bằng

5, 13, 131, 149, 1699, ... (dãy số A004063 trong bảng OEIS).

Số nguyên tố repunit cơ số 8

Số nguyên tố repunit cơ số 8 duy nhất là số 73 (${\displaystyle 111_{8}}$ ). ${\displaystyle 8^{n}-1=\left(4^{n}+2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right)}$ , và 7 là ước của ${\displaystyle 4^{n}+2^{n}+1}$ khi n không chia hết cho 3 và của ${\displaystyle 2^{n}-1}$ khi n là bội của 3.

Số nguyên tố repunit cơ số 9

Không tồn tại nguyên tố repunit cơ số 9 nào. Bởi ${\displaystyle 9^{n}-1=\left(3^{n}+1\right)\left(3^{n}-1\right)}$ , và cả hai ${\displaystyle 3^{n}+1}$ và ${\displaystyle 3^{n}-1}$ đều chẵn và lớn hơn 4.

Số nguyên tố repunit cơ số 11

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 11 là

50544702849929377, 6115909044841454629, 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953, 567000232521795739625828281267171344486805385881217575081149660163046217465544573355710592079769932651989153833612198334843467861091902034340949

tương ứng với ${\displaystyle n}$ bằng

17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, ... (dãy số A005808 trong bảng OEIS).

Số nguyên tố repunit cơ số 12

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 12 là

13, 157, 22621, 29043636306420266077, 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941

tương ứng với ${\displaystyle n}$ bằng

2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, ... (dãy số A004064 trong bảng OEIS).

Số nguyên tố repunit cơ số 20

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 20 là

421, 10778947368421, 689852631578947368421

tương ứng với ${\displaystyle n}$ bằng

3, 11, 17, 1487, ... (dãy số A127995 trong bảng OEIS).

Cơ số b sao cho R_p(b) là số nguyên tố cho số nguyên tố p

Cơ số ${\displaystyle b}$ nhỏ nhất sao cho ${\displaystyle R_{p}(b)}$ là số nguyên tố (trong đó ${\displaystyle p}$ là số nguyên tố thứ ${\displaystyle n}$ ) là:

2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, 13, 136, 220, 162, 35, 10, 218, 19, 26, 39, 12, 22, 67, 120, 195, 48, 54, 463, 38, 41, 17, 808, 404, 46, 76, 793, 38, 28, 215, 37, 236, 59, 15, 514, 260, 498, 6, 2, 95, 3, ... (dãy số A066180 trong bảng OEIS)

Cơ số ${\displaystyle b}$ nhỏ nhất sao cho ${\displaystyle R_{p}(-b)}$ là số nguyên tố (trong đó ${\displaystyle p}$ là số nguyên tố thứ ${\displaystyle n}$ ) là:

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, 159, 10, 16, 209, 2, 16, 23, 273, 2, 460, 22, 3, 36, 28, 329, 43, 69, 86, 271, 396, 28, 83, 302, 209, 11, 300, 159, 79, 31, 331, 52, 176, 3, 28, 217, 14, 410, 252, 718, 164, ... (dãy số A103795 trong bảng OEIS)

${\displaystyle p}$	Cơ số ${\displaystyle b}$ sao cho ${\displaystyle R_{p}(b)}$ là số nguyên tố (chỉ liệt kê các cơ số dương)	Dãy OEIS
2	2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, 306, 310, 312, 316, 330, 336, 346, 348, 352, 358, 366, 372, 378, 382, 388, 396, 400, 408, 418, 420, 430, 432, 438, 442, 448, 456, 460, 462, 466, 478, 486, 490, 498, 502, 508, 520, 522, 540, 546, 556, 562, 568, 570, 576, 586, 592, 598, 600, 606, 612, 616, 618, 630, 640, 642, 646, 652, 658, 660, 672, 676, 682, 690, 700, 708, 718, 726, 732, 738, 742, 750, 756, 760, 768, 772, 786, 796, 808, 810, 820, 822, 826, 828, 838, 852, 856, 858, 862, 876, 880, 882, 886, 906, 910, 918, 928, 936, 940, 946, 952, 966, 970, 976, 982, 990, 996, ...	A006093
3	2, 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111, 117, 119, 131, 138, 141, 143, 147, 150, 153, 155, 161, 162, 164, 167, 168, 173, 176, 188, 189, 192, 194, 203, 206, 209, 215, 218, 231, 236, 245, 246, 266, 272, 278, 279, 287, 288, 290, 293, 309, 314, 329, 332, 336, 342, 344, 348, 351, 357, 369, 378, 381, 383, 392, 395, 398, 402, 404, 405, 414, 416, 426, 434, 435, 447, 453, 455, 456, 476, 489, 495, 500, 512, 518, 525, 530, 531, 533, 537, 540, 551, 554, 560, 566, 567, 572, 579, 582, 584, 603, 605, 609, 612, 621, 624, 626, 635, 642, 644, 668, 671, 677, 686, 696, 701, 720, 726, 728, 735, 743, 747, 755, 761, 762, 768, 773, 782, 785, 792, 798, 801, 812, 818, 819, 825, 827, 836, 839, 846, 855, 857, 860, 864, 875, 878, 890, 894, 897, 899, 911, 915, 918, 920, 927, 950, 959, 960, 969, 974, 981, 987, 990, 992, 993, ...	A002384
5	2, 7, 12, 13, 17, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 40, 43, 44, 50, 62, 63, 68, 73, 74, 77, 79, 83, 85, 94, 99, 110, 117, 118, 120, 122, 127, 129, 134, 143, 145, 154, 162, 164, 165, 172, 175, 177, 193, 198, 204, 208, 222, 227, 239, 249, 254, 255, 260, 263, 265, 274, 275, 277, 285, 288, 292, 304, 308, 327, 337, 340, 352, 359, 369, 373, 393, 397, 408, 414, 417, 418, 437, 439, 448, 457, 459, 474, 479, 490, 492, 495, 503, 505, 514, 519, 528, 530, 538, 539, 540, 550, 557, 563, 567, 568, 572, 579, 594, 604, 617, 637, 645, 650, 662, 679, 694, 699, 714, 728, 745, 750, 765, 770, 772, 793, 804, 805, 824, 837, 854, 860, 864, 868, 880, 890, 919, 942, 954, 967, 968, 974, 979, ...	A049409
7	2, 3, 5, 6, 13, 14, 17, 26, 31, 38, 40, 46, 56, 60, 61, 66, 68, 72, 73, 80, 87, 89, 93, 95, 115, 122, 126, 128, 146, 149, 156, 158, 160, 163, 180, 186, 192, 203, 206, 208, 220, 221, 235, 237, 238, 251, 264, 266, 280, 282, 290, 294, 300, 303, 320, 341, 349, 350, 353, 363, 381, 395, 399, 404, 405, 417, 418, 436, 438, 447, 450, 461, 464, 466, 478, 523, 531, 539, 548, 560, 583, 584, 591, 599, 609, 611, 622, 646, 647, 655, 657, 660, 681, 698, 700, 710, 717, 734, 760, 765, 776, 798, 800, 802, 805, 822, 842, 856, 863, 870, 878, 899, 912, 913, 926, 927, 931, 940, 941, 942, 947, 959, 984, 998, ...	A100330
11	5, 17, 20, 21, 30, 53, 60, 86, 137, 172, 195, 212, 224, 229, 258, 268, 272, 319, 339, 355, 365, 366, 389, 390, 398, 414, 467, 480, 504, 534, 539, 543, 567, 592, 619, 626, 654, 709, 735, 756, 766, 770, 778, 787, 806, 812, 874, 943, 973, ...	A162862
13	2, 3, 5, 7, 34, 37, 43, 59, 72, 94, 98, 110, 133, 149, 151, 159, 190, 207, 219, 221, 251, 260, 264, 267, 282, 286, 291, 319, 355, 363, 373, 382, 397, 398, 402, 406, 408, 412, 436, 442, 486, 489, 507, 542, 544, 552, 553, 582, 585, 592, 603, 610, 614, 634, 643, 645, 689, 708, 720, 730, 744, 769, 772, 806, 851, 853, 862, 882, 912, 928, 930, 952, 968, 993, ...	A217070
17	2, 11, 20, 21, 28, 31, 55, 57, 62, 84, 87, 97, 107, 109, 129, 147, 149, 157, 160, 170, 181, 189, 191, 207, 241, 247, 251, 274, 295, 297, 315, 327, 335, 349, 351, 355, 364, 365, 368, 379, 383, 410, 419, 423, 431, 436, 438, 466, 472, 506, 513, 527, 557, 571, 597, 599, 614, 637, 653, 656, 688, 708, 709, 720, 740, 762, 835, 836, 874, 974, 976, 980, 982, 986, ...	A217071
19	2, 10, 11, 12, 14, 19, 24, 40, 45, 46, 48, 65, 66, 67, 75, 85, 90, 103, 105, 117, 119, 137, 147, 164, 167, 179, 181, 205, 220, 235, 242, 253, 254, 263, 268, 277, 303, 315, 332, 337, 366, 369, 370, 389, 399, 404, 424, 431, 446, 449, 480, 481, 506, 509, 521, 523, 531, 547, 567, 573, 581, 622, 646, 651, 673, 736, 768, 787, 797, 807, 810, 811, 817, 840, 846, 857, 867, 869, 870, 888, 899, 902, 971, 988, 990, 992, ...	A217072
23	10, 40, 82, 113, 127, 141, 170, 257, 275, 287, 295, 315, 344, 373, 442, 468, 609, 634, 646, 663, 671, 710, 819, 834, 857, 884, 894, 904, 992, 997, ...	A217073
29	6, 40, 65, 70, 114, 151, 221, 229, 268, 283, 398, 451, 460, 519, 554, 587, 627, 628, 659, 687, 699, 859, 884, 915, 943, 974, 986, ...	A217074
31	2, 14, 19, 31, 44, 53, 71, 82, 117, 127, 131, 145, 177, 197, 203, 241, 258, 261, 276, 283, 293, 320, 325, 379, 387, 388, 406, 413, 461, 462, 470, 486, 491, 534, 549, 569, 582, 612, 618, 639, 696, 706, 723, 746, 765, 767, 774, 796, 802, 877, 878, 903, 923, 981, 991, 998, ...	A217075
37	61, 77, 94, 97, 99, 113, 126, 130, 134, 147, 161, 172, 187, 202, 208, 246, 261, 273, 285, 302, 320, 432, 444, 503, 523, 525, 563, 666, 680, 709, 740, 757, 787, 902, 962, 964, 969, ...	A217076
41	14, 53, 55, 58, 71, 76, 82, 211, 248, 271, 296, 316, 430, 433, 439, 472, 545, 553, 555, 596, 663, 677, 682, 746, 814, 832, 885, 926, 947, 959, ...	A217077
43	15, 21, 26, 86, 89, 114, 123, 163, 180, 310, 332, 377, 409, 438, 448, 457, 477, 526, 534, 556, 586, 612, 653, 665, 690, 692, 709, 760, 783, 803, 821, 848, 877, 899, 909, 942, 981, ...	A217078
47	5, 17, 19, 55, 62, 75, 89, 98, 99, 132, 172, 186, 197, 220, 268, 278, 279, 288, 439, 443, 496, 579, 583, 587, 742, 777, 825, 911, 966, ...	A217079
53	24, 45, 60, 165, 235, 272, 285, 298, 307, 381, 416, 429, 623, 799, 858, 924, 929, 936, ...	A217080
59	19, 70, 102, 116, 126, 188, 209, 257, 294, 359, 451, 461, 468, 470, 638, 653, 710, 762, 766, 781, 824, 901, 939, 964, 995, ...	A217081
61	2, 19, 69, 88, 138, 155, 205, 234, 336, 420, 425, 455, 470, 525, 555, 561, 608, 626, 667, 674, 766, 779, 846, 851, 937, 971, 998, ...	A217082
67	46, 122, 238, 304, 314, 315, 328, 332, 346, 372, 382, 426, 440, 491, 496, 510, 524, 528, 566, 638, 733, 826, ...	A217083
71	3, 6, 17, 24, 37, 89, 132, 374, 387, 402, 421, 435, 453, 464, 490, 516, 708, 736, 919, 947, 981, ...	A217084
73	11, 15, 75, 114, 195, 215, 295, 335, 378, 559, 566, 650, 660, 832, 871, 904, 966, ...	A217085
79	22, 112, 140, 158, 170, 254, 271, 330, 334, 354, 390, 483, 528, 560, 565, 714, 850, 888, 924, 929, 933, 935, 970, ...	A217086
83	41, 146, 386, 593, 667, 688, 906, 927, 930, ...	A217087
89	2, 114, 159, 190, 234, 251, 436, 616, 834, 878, ...	A217088
97	12, 90, 104, 234, 271, 339, 420, 421, 428, 429, 464, 805, 909, 934, ...	A217089
101	22, 78, 164, 302, 332, 359, 387, 428, 456, 564, 617, 697, 703, 704, 785, 831, 979, ...
103	3, 52, 345, 392, 421, 472, 584, 617, 633, 761, 767, 775, 785, 839, ...
107	2, 19, 61, 68, 112, 157, 219, 349, 677, 692, 700, 809, 823, 867, 999, ...
109	12, 57, 72, 79, 89, 129, 158, 165, 239, 240, 260, 277, 313, 342, 421, 445, 577, 945, ...
113	86, 233, 266, 299, 334, 492, 592, 641, 656, 719, 946, ...
127	2, 5, 6, 47, 50, 126, 151, 226, 250, 401, 427, 473, 477, 486, 497, 585, 624, 644, 678, 685, 687, 758, 896, 897, 936, ...
131	7, 493, 567, 591, 593, 613, 764, 883, 899, 919, 953, ...
137	13, 166, 213, 355, 586, 669, 707, 768, 833, ...
139	11, 50, 221, 415, 521, 577, 580, 668, 717, 720, 738, 902, ...
149	5, 7, 68, 79, 106, 260, 319, 502, 550, 779, 855, ...
151	29, 55, 57, 160, 176, 222, 255, 364, 427, 439, 642, 660, 697, 863, ...
157	56, 71, 76, 181, 190, 317, 338, 413, 426, 609, 694, 794, 797, 960, ...
163	30, 62, 118, 139, 147, 291, 456, 755, 834, 888, 902, 924, ...
167	44, 45, 127, 175, 182, 403, 449, 453, 476, 571, 582, 700, 749, 764, 929, 957, ...
173	60, 62, 139, 141, 303, 313, 368, 425, 542, 663, ...
179	304, 478, 586, 942, 952, 975, ...
181	5, 37, 171, 427, 509, 571, 618, 665, 671, 786, ...
191	74, 214, 416, 477, 595, 664, 699, 712, 743, 924, ...
193	118, 301, 486, 554, 637, 673, 736, ...
197	33, 236, 248, 262, 335, 363, 388, 593, 763, 813, ...
199	156, 362, 383, 401, 442, 630, 645, 689, 740, 921, 936, 944, 983, 988, ...
211	46, 57, 354, 478, 539, 581, 653, 829, 835, 977, ...
223	183, 186, 219, 221, 661, 749, 905, 914, ...
227	72, 136, 235, 240, 251, 322, 350, 500, 523, 556, 577, 671, 688, 743, 967, ...
229	606, 725, 754, 858, 950, ...
233	602, ...
239	223, 260, 367, 474, 564, 862, ...
241	115, 163, 223, 265, 270, 330, 689, 849, ...
251	37, 246, 267, 618, 933, ...
257	52, 78, 435, 459, 658, 709, ...
263	104, 131, 161, 476, 494, 563, 735, 842, 909, 987, ...
269	41, 48, 294, 493, 520, 812, 843, ...
271	6, 21, 186, 201, 222, 240, 586, 622, 624, ...
277	338, 473, 637, 940, 941, 978, ...
281	217, 446, 606, 618, 790, 864, ...
283	13, 197, 254, 288, 323, 374, 404, 943, ...
293	136, 388, 471, ...

Danh sách các số nguyên tố cơ số b

Dãy các số nguyên tố nhỏ nhất thỏa mãn ${\displaystyle p>2}$ và ${\displaystyle R_{p}(b)}$ là số nguyên tố là (bắt đầu bằng ${\displaystyle b=2}$ , có giá trị 0 nếu không tồn tại số nguyên tố ${\displaystyle p}$ thỏa mãn)

3, 3, 0, 3, 3, 5, 3, 0, 19, 17, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 25667, 19, 3, 3, 5, 5, 3, 0, 7, 3, 5, 5, 5, 7, 0, 3, 13, 313, 0, 13, 3, 349, 5, 3, 1319, 5, 5, 19, 7, 127, 19, 0, 3, 4229, 103, 11, 3, 17, 7, 3, 41, 3, 7, 7, 3, 5, 0, 19, 3, 19, 5, 3, 29, 3, 7, 5, 5, 3, 41, 3, 3, 5, 3, 0, 23, 5, 17, 5, 11, 7, 61, 3, 3, 4421, 439, 7, 5, 7, 3343, 17, 13, 3, 0, ... (dãy số A128164 trong bảng OEIS)

Dãy các số nguyên tố nhỏ nhất thỏa mãn ${\displaystyle p>2}$ và ${\displaystyle R_{p}(-b)}$ là số nguyên tố là (bắt đầu bằng ${\displaystyle b=2}$ , có giá trị 0 nếu không tồn tại số nguyên tố ${\displaystyle p}$ thỏa mãn, và để dấu hỏi nếu vẫn chưa biết liệu có tồn tại số nguyên tố thỏa mãn không)

3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11, 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3, 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, 7, 13, 5, 3, 37, 3, 3, 5, 3, 293, 19, 7, 167, 7, 7, 709, 13, 3, 3, 37, 89, 71, 43, 37, ?, 19, 7, 3, ... (dãy số A084742 trong bảng OEIS)

${\displaystyle b}$	Các giá trị ${\displaystyle n}$ sao cho ${\displaystyle R_{n}(b)}$ là số nguyên tố (một số giá trị lớn tương ứng với số có thể nguyên tố, các giá trị của ${\displaystyle n}$ được kiểm tra cho tới 100000)	Dãy OEIS
−50	1153, 26903, 56597, ...	A309413
−49	7, 19, 37, 83, 1481, 12527, 20149, ...	A237052
−48	2*, 5, 17, 131, 84589, ...	A236530
−47	5, 19, 23, 79, 1783, 7681, ...	A236167
−46	7, 23, 59, 71, 107, 223, 331, 2207, 6841, 94841, ...	A235683
−45	103, 157, 37159, ...	A309412
−44	2*, 7, 41233, ...	A309411
−43	5, 7, 19, 251, 277, 383, 503, 3019, 4517, 9967, 29573, ...	A231865
−42	2*, 3, 709, 1637, 17911, 127609, 172663, ...	A231604
−41	17, 691, 113749, ...	A309410
−40	53, 67, 1217, 5867, 6143, 11681, 29959, ...	A229663
−39	3, 13, 149, 15377, ...	A230036
−38	2*, 5, 167, 1063, 1597, 2749, 3373, 13691, 83891, 131591, ...	A229524
−37	5, 7, 2707, 163193, ...	A309409
−36	31, 191, 257, 367, 3061, 110503, ...	A229145
−35	11, 13, 79, 127, 503, 617, 709, 857, 1499, 3823, 135623, ...	A185240
−34	3, 294277, ...
−33	5, 67, 157, 12211, 313553, ...	A185230
−32	2* (no others)
−31	109, 461, 1061, 50777, ...	A126856
−30	2*, 139, 173, 547, 829, 2087, 2719, 3109, 10159, 56543, 80599, ...	A071382
−29	7, 112153, 151153, ...	A291906
−28	3, 19, 373, 419, 491, 1031, 83497, ...	A071381
−27	(none)
−26	11, 109, 227, 277, 347, 857, 2297, 9043, ...	A071380
−25	3, 7, 23, 29, 59, 1249, 1709, 1823, 1931, 3433, 8863, 43201, 78707, ...	A057191
−24	2*, 7, 11, 19, 2207, 2477, 4951, ...	A057190
−23	11, 13, 67, 109, 331, 587, 24071, 29881, 44053, ...	A057189
−22	3, 5, 13, 43, 79, 101, 107, 227, 353, 7393, 50287, ...	A057188
−21	3, 5, 7, 13, 37, 347, 17597, 59183, 80761, 210599, 394579, ...	A057187
−20	2*, 5, 79, 89, 709, 797, 1163, 6971, 140053, 177967, 393257, ...	A057186
−19	17, 37, 157, 163, 631, 7351, 26183, 30713, 41201, 77951, 476929, ...	A057185
−18	2*, 3, 7, 23, 73, 733, 941, 1097, 1933, 4651, 481147, ...	A057184
−17	7, 17, 23, 47, 967, 6653, 8297, 41221, 113621, 233689, 348259, ...	A057183
−16	3, 5, 7, 23, 37, 89, 149, 173, 251, 307, 317, 30197, 1025393, ...	A057182
−15	3, 7, 29, 1091, 2423, 54449, 67489, 551927, ...	A057181
−14	2*, 7, 53, 503, 1229, 22637, 1091401, ...	A057180
−13	3, 11, 17, 19, 919, 1151, 2791, 9323, 56333, 1199467, ...	A057179
−12	2*, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, 495953, ...	A057178
−11	5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, 2264611...	A057177
−10	5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, 1600787, ...	A001562
−9	3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, 860029, ...	A057175
−8	2* (no others)
−7	3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, 1178033, ...	A057173
−6	2*, 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, 1313371, ...	A057172
−5	5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, 1856147, ...	A057171
−4	2*, 3 (no others)
−3	2*, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897, 1205459, 1896463, 2533963, ...	A007658
−2	3, 4*, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, 15135397, ...	A000978
2	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, ..., 74207281, ..., 77232917, ..., 82589933, ...	A000043
3	3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, 3598867, ...	A028491
4	2 (no others)
5	3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, 3300593, ...	A004061
6	2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, 1365019, ...	A004062
7	5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ...	A004063
8	3 (no others)
9	(none)
10	2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ..., 5794777, ...	A004023
11	17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ...	A005808
12	2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ...	A004064
13	5, 7, 137, 283, 883, 991, 1021, 1193, 3671, 18743, 31751, 101089, 1503503, ...	A016054
14	3, 7, 19, 31, 41, 2687, 19697, 59693, 67421, 441697, ...	A006032
15	3, 43, 73, 487, 2579, 8741, 37441, 89009, 505117, 639833, ...	A006033
16	2 (no others)
17	3, 5, 7, 11, 47, 71, 419, 4799, 35149, 54919, 74509, 1990523, ...	A006034
18	2, 25667, 28807, 142031, 157051, 180181, 414269, ...	A133857
19	19, 31, 47, 59, 61, 107, 337, 1061, 9511, 22051, 209359, ...	A006035
20	3, 11, 17, 1487, 31013, 48859, 61403, 472709, 984349, ...	A127995
21	3, 11, 17, 43, 271, 156217, 328129, ...	A127996
22	2, 5, 79, 101, 359, 857, 4463, 9029, 27823, ...	A127997
23	5, 3181, 61441, 91943, 121949, ...	A204940
24	3, 5, 19, 53, 71, 653, 661, 10343, 49307, 115597, 152783, ...	A127998
25	(none)
26	7, 43, 347, 12421, 12473, 26717, ...	A127999
27	3 (no others)
28	2, 5, 17, 457, 1423, 115877, ...	A128000
29	5, 151, 3719, 49211, 77237, ...	A181979
30	2, 5, 11, 163, 569, 1789, 8447, 72871, 78857, 82883, ...	A098438
31	7, 17, 31, 5581, 9973, 101111, 535571, ...	A128002
32	(none)
33	3, 197, 3581, 6871, 183661, ...	A209120
34	13, 1493, 5851, 6379, 125101, ...	A185073
35	313, 1297, 568453,[8] ...
36	2 (no others)
37	13, 71, 181, 251, 463, 521, 7321, 36473, 48157, 87421, 168527, 249341, ...	A128003
38	3, 7, 401, 449, 109037, ...	A128004
39	349, 631, 4493, 16633, 36341, ...	A181987
40	2, 5, 7, 19, 23, 29, 541, 751, 1277, ...	A128005
41	3, 83, 269, 409, 1759, 11731, ...	A239637
42	2, 1319, 337081,[8] ...
43	5, 13, 6277, 26777, 27299, 40031, 44773, ...	A240765
44	5, 31, 167, 100511, ...	A294722
45	19, 53, 167, 3319, 11257, 34351, 216551, ...	A242797
46	2, 7, 19, 67, 211, 433, 2437, 2719, 19531, ...	A243279
47	127, 18013, 39623, ...	A267375
48	19, 269, 349, 383, 1303, 15031, 200443, ...	A245237
49	(none)
50	3, 5, 127, 139, 347, 661, 2203, 6521, 210319, ...	A245442

^* Các số repunit có cơ số âm và n chẵn thì đều là số âm. Nếu giá trị tuyệt đối của nó là số nguyên tố, thì nó có trong bảng trên với dấu sao bên cạnh, song giá trị đó sẽ không xuất hiện trong dãy OEIS tương ứng.

Để tìm hiểu thêm, xem.^{[9][10][11][12]}

Phân tích đại số của các số repunit tổng quát

Nếu b là lũy thừa hoàn hảo (tức là có thể viết thành mⁿ, trong đó m, n là các số nguyên và n > 1) khác 1, thì chỉ có tối đa một số repunit cơ số b. Nếu n là lũy thừa nguyên tố (tức là có thể viết thành p^r, với p là số nguyên tố, r là số nguyên và p, r >0), thì tất cả các số repunit cơ số b đều không phải số nguyên tố ngoại trừ các số R_p và R₂. R_p có thể là số nguyên tố và hợp số, ví dụ nó là số nguyên tố là các số b = −216, −128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256, các ví dụ sau thì bao gồm, b = −243, −125, −64, −32, −27, −8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 289, vv., và R₂ có thể là số nguyên tố (khi p khác 2) nếu b âm hoặc là lũy thừa của −2, lấy ví dụ như b = −8, −32, −128, −8192, vv., kể cả vậy R₂ vẫn có thể là hợp số, lấy ví dụ như b = −512, −2048, −32768, vv. Nếu n không phải lũy thừa nguyên tố thì không có số nguyên tố cơ số b nào tồn tại, lấy ví dụ b = 64, 729 (với n = 6), b = 1024 (với n = 10), và b = −1 hoặc 0 (với n là số tự nhiên tùy ý).

Giả thuyết tổng quát cho repunit

Một giả thuyết liên quan đến dạng tổng quát của số repunit:^[13][14] (giả thuyết này tiên đoán số nguyên số Mersenne tổng quát tiếp theo, và nếu giả thuyết này đúng thì có vô số số nguyên tố repunit cho mọi cơ số ${\displaystyle b}$ khả thi)

Cho bất kỳ số tự nhiên ${\displaystyle b}$ thỏa mãn các điều kiện sau:

1. ${\displaystyle |b|>1}$ .
2. ${\displaystyle b}$ không phải lũy thừa hoàn hảo. (bởi nếu ${\displaystyle b}$ là lũy thừa hoàn hảo bậc ${\displaystyle r}$ , thì ta có thể chứng minh chỉ có tối đa một giá trị của ${\displaystyle n}$ sao cho ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$ là số nguyên tố, và giá trị này của ${\displaystyle n}$ hoặc là ${\displaystyle r}$ hoặc là căn bậc ${\displaystyle k}$ của ${\displaystyle r}$ với một số số k)
3. ${\displaystyle b}$ không nằm dưới dạng ${\displaystyle -4k^{4}}$ . (nếu có thì số đó có phân tích thừa số dạng aurifeuillean)

thì sẽ có số nguyên tố repunit tổng quát dưới dạng

${\displaystyle R_{p}(b)={\frac {b^{p}-1}{b-1}}}$

với ${\displaystyle p}$ là số nguyên tố, các số nguyên tố sẽ được phân phối gần với đường sau

${\displaystyle Y=G\cdot \log _{|b|}\left(\log _{|b|}\left(R_{(b)}(n)\right)\right)+C,}$

trong đó giới hạn ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ , ${\displaystyle G={\frac {1}{e^{\gamma }}}=0.561459483566...}$

và có khoảng

${\displaystyle \left(\log _{e}(N)+m\cdot \log _{e}(2)\cdot \log _{e}{\big (}\log _{e}(N){\big )}+{\frac {1}{\sqrt {N}}}-\delta \right)\cdot {\frac {e^{\gamma }}{\log _{e}(|b|)}}}$

số nguyên tố cơ số b nhỏ hơn N. Trong đó:

• ${\displaystyle e}$ là cơ số của lôgarit tự nhiên.
• ${\displaystyle \gamma }$ là hằng số Euler–Mascheroni.
• ${\displaystyle \log _{|b|}}$ là logarit trong cơ số ${\displaystyle |b|}$
• ${\displaystyle R_{(b)}(n)}$ là số nguyên tố repunit tổng quát thứ ${\displaystyle n}$ trong cơ số b (cùng số nguyên tố p)
• ${\displaystyle C}$ là hằng số hợp dữ liệu phụ thuộc vào ${\displaystyle b}$ .
• ${\displaystyle \delta =1}$ nếu ${\displaystyle b>0}$ , ${\displaystyle \delta =1.6}$ nếu ${\displaystyle b<0}$ .
• ${\displaystyle m}$ là số tự nhiên lớn nhất sao cho ${\displaystyle -b}$ là lũy thừa ${\displaystyle 2^{m-1}}$ .

Ngoài ra chúng ta còn có 3 tính chất sau:

1. Số các số nguyên tố dưới dạng ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$ (với ${\displaystyle p}$ là số nguyên tố) nhỏ hơn hoặc bằng ${\displaystyle n}$ xấp xỉ với ${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{|b|}{\big (}\log _{|b|}(n){\big )}}$ .
2. Ước tính số các số nguyên tố dưới dạng ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$ cùng với số nguyên tố ${\displaystyle p}$ nằm giữa ${\displaystyle n}$ và ${\displaystyle |b|\cdot n}$ là vào khoảng ${\displaystyle e^{\gamma }}$ .
3. Xác suất rằng số dưới dạng ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$ là số nguyên tố (với ${\displaystyle p}$ là số nguyên tố) nằm vào khoảng ${\displaystyle {\frac {e^{\gamma }}{p\cdot \log _{e}(|b|)}}}$ .

Vào thời gian mà các số repunit chưa được đặt tên, các số repunit trong hệ thập phân được nghiên cứu bởi rất nhiều nhà toán học trong thế kỷ 19 để tìm ra và tiên đoán tính chất của các số lặp lại chữ số.^[15]

Ta phát hiện được rất sớm rằng với mọi số nguyên tố p lớn hơn 5, chu kỳ của khai triển của 1/p bằng với độ dài của số repunit nhỏ nhất chia hết cho p. Bảng chu kỳ của nghịch đảo các số nguyên tố cho tới 60,000 đã được xuất bản vào năm 1860 và cho phép các nhà toán học như Reuschle tìm ra phân tích thừa số nguyên tố của các số repunit lên tới R₁₆ và nhiều số lớn hơn. Tới năm 1880, các số R₁₇ cho tới R₃₆ đã được phân tích thừa số nguyên tố^[15] và mặc dù Édouard Lucas đã chứng minh rằng không có số nguyên tố nằm dưới ba triệu có chu kỳ 19, phải tới đầu thế kỉ 20, các nhà toán học mới bắt đầu kiểm tra tính nguyên tố của các số repunit. Nhà toán học Mỹ Oscar Hoppe đã chứng minh R₁₉ là số nguyên tố trong năm 1916^[16]. Sau đó Lehmer và Kraitchik độc lập tìm ra R₂₃ là số nguyên tố trong 1929.

Tiến bộ trong công cuộc nghiên cứu các số repunit phải mãi tới những năm 1960 mới có, khi mà các máy tính bắt đầu xuất hiện, cho phép các nhà toán học có thể tìm ra các ước nguyên tố và sửa lại bảng các chu kỳ nguyên tố. R₃₁₇ được chứng minh là số có thể nguyên tố quanh năm 1966 và được chứng minh là số nguyên tố sau 11 năm, trong khi đó R₁₀₃₁ được chứng minh là số có thể nguyên tố cuối cùng có số chữ số nhỏ hơn mười nghìn. Sau đó, số đó được chứng minh là số nguyên tố trong năm 1986, nhưng công cuộc tìm các số nguyên tố repunit lớn hơn nó liên tục gặp thất bại. Tuy nhiên, nhờ việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết của các số repunit tổng quát, nay ta đã tìm được nhiều số nguyên tố mới và số có thể nguyên tố mới.

Kể từ năm 1999, bốn số có thể nguyên tố đã được tìm thấy, nhưng hiện khó có thể chứng minh bất kỳ một trong bốn số đó là số nguyên tố bởi kích thước số rất lớn.

Dự án Cunningham đã nỗ lực ghi lại phân tích thừa số nguyên tố của các số repunit (trong nhiều số khác) cho các cơ số 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, và 12.

D. R. Kaprekar định nghĩa số Demlo là số được nối bởi phần trái, phần giữa và phần phải, trong đó phần trái và phần phải phải có cùng độ dài(có thể thêm chữ số 0 dẫn trước ở phần trái) và khi cộng các phần với nhau phải ra số repdigit, và phần giữa có thể chứa thêm một số chữ số của chữ số lặp lại.^[17] Chúng được đặt tên theo nhà ga Demlo (nay được gọi là Dombivili) cách 30 miles từ Bombay đến đường tàu G.I.P., nơi mà Kaprekar bắt đầu nghiên cứu chúng.Ông gọi số Demlo kỳ lạ là các số có dạng 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321. Bởi các số này là bình phương của các số repunits đã dẫn tới việc một số tác giả đã gọi các số Demlo là dãy vô hạn các số repunit,^[18] 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., (dãy số A002477 trong bảng OEIS), mặc dù ta có thể kiểm tra các số sau không phải số Demlo khi p = 10, 19, 28, ...

• Đa thức toàn một — Một dạng tổng quát khác
• Giả thuyết Goormaghtigh
• Repdigit
• Số nguyên tố Wagstaff — có thể hiểu là số nguyên tố repunit có cơ số âm ${\displaystyle b=-2}$

Chú thích

Tham khảo

• Beiler, Albert H. (2013) [1964], Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains, Dover Recreational Math (ấn bản 2), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4
• Dickson, Leonard Eugene; Cresse, G.H. (1999), History of the Theory of Numbers, Volume I: Divisibility and primality (ấn bản 2), Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-1934-0
• Francis, Richard L. (1988), “Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers”, The College Mathematics Journal, 19 (3): 240–246, doi:10.1080/07468342.1988.11973120
• Gunjikar, K. R.; Kaprekar, D. R. (1939), “Theory of Demlo numbers” (PDF), Journal of the University of Bombay, VIII (3): 3–9
• Kaprekar, D. R. (1938a), “On Wonderful Demlo numbers”, The Mathematics Student, 6: 68, Bản gốc lưu trữ ngày 10 tháng 2 năm 2009, truy cập ngày 10 tháng 10 năm 2022
• Kaprekar, D. R. (1938b), “Demlo numbers”, J. Phys. Sci. Univ. Bombay, VII (3)
• Kaprekar, D. R. (1948), Demlo numbers, Devlali, India: Khareswada
• Ribenboim, Paulo (ngày 2 tháng 2 năm 1996), The New Book of Prime Number Records, Computers and Medicine (ấn bản 3), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
• Yates, Samuel (1982), Repunits and repetends, FL: Delray Beach, ISBN 978-0-9608652-0-8

• Weisstein, Eric W., "Repunit", MathWorld.
• The main tables of the Cunningham project.
• Repunit at The Prime Pages by Chris Caldwell.
• Repunits and their prime factors at World!Of Numbers.
• Prime generalized repunits of at least 1000 decimal digits by Andy Steward
• Repunit Primes Project Giovanni Di Maria's repunit primes page.
• Smallest odd prime p such that (b^p-1)/(b-1) and (b^p+1)/(b+1) is prime for bases 2<=b<=1024
• Factorization of repunit numbers
• Generalized repunit primes in base -50 to 50

Bản mẫu:Phân loại các số nguyên