Số tự mãn

Định nghĩa của số tự mãn dựa vào hệ thập phân n = d_kd_k-1...d₁ của một số tự nhiên n

n = d_k·10^k-1 + d_k-1·10^k-2 + ... + d₂·10 + d₁,

với k của chữ số d_i thỏa 0 ≤ d_i ≤ 9. Một số n được gọi là số tự mãn khi thỏa điều kiện

n = d_k^k + d_k-1^k + ... + d₂^k + d₁^k.

Ví dụ: chữ số thập phân 3 chữ số là 153 là số tự mãn vì 153 = 1³ + 5³ + 3³.

Số tự mãn cũng có thể được định nghĩa dựa vào hệ số b của số tự nhiên thay vì b = 10. Hệ số b thể hiện số tự nhiên n được định nghĩa

n = d_kb^k-1 + d_k-1b^k-2 + ... + d₂b + d₁,

với hệ số b của chữ số d_i thỏa điều kiện 0 ≤ d_i ≤ b-1.Ví dụ: số 17 (thập phân) là số tự mãn cho hệ số b = 3. Hệ tam phân của nó là 122, vì 17 = 1·3² + 2·3 + 2 , và nó thỏa 17 = 1³ + 2³ + 2³.

Nếu ràng buộc số mũ phải bằng số lượng chữ số, trường hợp có thể xảy ra một số m khác với k

n = d_k^m + d_k-1^m + ... + d₂^m + d₁^m,

thì n được gọi là số tuyệt hảo bất biến hoặc PDI.^[1] Ví dụ, số thập phân 4150 có bốn chữ số thập phân và là tổng của mũ năm của các chữ số thập phân

4150 = 4⁵ + 1⁵ + 5⁵ + 0⁵,

nên nó là số tuyệt hảo bất biến không phải là số tự mãn.

Trong "A Mathematician's Apology", G. H. Hardy viết:

Chỉ có, sau khi thống nhất, là tổng bậc ba của mỗi chữ số của nó:

${\displaystyle 153=1^{3}+5^{3}+3^{3}}$

${\displaystyle 370=3^{3}+7^{3}+0^{3}}$

${\displaystyle 371=3^{3}+7^{3}+1^{3}}$

${\displaystyle 407=4^{3}+0^{3}+7^{3}}$ .

These are odd facts, very suitable for puzzle columns and likely to amuse amateurs, but there is nothing in them which appeals to the mathematician.

Trình tự của số tự mãn "hệ 10" bắt đầu:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474... (dãy số A005188 trong bảng OEIS)

Trình tự của số tự mãn "hệ 12" bắt đầu:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 25, A5, 577, 668, A83 (dãy số A161949 trong bảng OEIS)

Trình tự của số tự mãn "hệ 3" bắt đầu:0, 1, 2, 12, 22, 122

Trình tự của số tự mãn "hệ 4" bắt đầu:0, 1, 2, 3, 130, 131, 203, 223, 313 (dãy số A010344 trong bảng OEIS)

Số lượng số tự mãn trong một hệ số là có hạn, số tối đa có thể của mũ thứ k của k chữ số trong hệ số b là

${\displaystyle k(b-1)^{k}\,,}$

và nếu k đủ lớn thì

${\displaystyle k(b-1)^{k}<b^{k-1}\,,}$

trong trường hợp không có số tự mãn hệ số b có thể có k chữ số hoặc nhiều hơn. Thiết lập b bằng 10 thể hiện thấy số tự mãn lớn nhất trong hệ số 10 phải nhỏ hơn 10⁶⁰.

Chỉ có 88 số tự mãn ở hệ số 10, với những số lớn nhất là

115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401

với 39 chữ số.

Không giống số tự mãn, không có giới hạn lớn nhất có thể xác định cho kích thước của số tuyệt hảo bất biến trong một hệ số và không có cách biết được số tuyệt hảo bất biến cho một hệ số bất kì có hạn hay vô hạn.

• Digital Invariants
• Armstrong Numbers Lưu trữ 2017-12-28 tại Wayback Machine
• Armstrong numbers between 1-999 calculator
• Symonds, Ria. “153 ♥ Narcissistic Number”. Numberphile. Brady Haran. Bản gốc lưu trữ ngày 22 tháng 5 năm 2017. Truy cập ngày 30 tháng 9 năm 2014.