Thặng dư (giải tích phức)

Thặng dư của hàm phân hình ${\displaystyle f}$ tại một điểm kỳ dị ${\displaystyle a}$ , thường được ký hiệu ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)}$ hoặc ${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)}$ , là

• giá trị ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}f(z)dz}$ , với ${\displaystyle C}$ là một đường cong kín định hướng dương bao quanh một điểm kì dị duy nhất ${\displaystyle a}$ sao cho winding number bằng ${\displaystyle 1}$ .
• cũng là giá trị duy nhất ${\displaystyle R}$ sao cho ${\displaystyle f(z)-R/(z-a)}$ có một nguyên hàm giải tích trong một đĩa bị thủng ${\displaystyle 0<\vert z-a\vert <\delta }$ .
• cũng là giá trị hệ số a_-1 của khai triển Laurent của hàm ${\displaystyle f}$ tại điểm ${\displaystyle a}$ .

Thặng dư của một đơn thức

Tính thặng dư của đơn thức qua tích phân

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}dz}$

với ${\displaystyle C}$ là đường tròn định hướng dương có bán kính ${\displaystyle 1}$ . Sử dụng phép đổi biến ${\displaystyle z\to e^{i\theta }}$ ta có

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}dz=\int _{0}^{2\pi }ie^{i(k+1)\theta }\,d\theta ={\begin{cases}2\pi i&{\text{nếu }}k=-1,\\0&{\text{với các trường hợp còn lại}}.\end{cases}}}$

Do đó thặng dư của đơn thức ${\displaystyle z^{k}}$ bằng ${\displaystyle 1}$ nếu ${\displaystyle k=-1}$ , và bằng ${\displaystyle 0}$ nếu ${\displaystyle k\neq -1}$ .

Kỳ dị bỏ được

Nếu hàm f có thể thác triển thành một hàm chỉnh hình trên toàn bộ đĩa ${\displaystyle |y-c|<R}$ thì Res(f, c) = 0. Điều ngược lại không đúng: ví dụ hàm ${\displaystyle {\frac {1}{z^{2}}}}$ có thặng dự tại ${\displaystyle 0}$ bằng ${\displaystyle 0}$ .

Cực điểm đơn

Tại một cực điểm đơn c, thặng dư của hàm f thỏa mãn

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$

Cực điểm cấp cao

Tổng quát hơn, nếu c là một cực cấp n, thặng dư của f quanh z = c có thể được tính theo công thức:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).}$

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw Hill.
• Marsden, Jerrold E.; Hoffman, Michael J. (1998). Basic Complex Analysis (ấn bản 3). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-2877-1.

• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Residue of an analytic function”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Tài liệu trực tuyến, Le Quy Don Technical University,
• Weisstein, Eric W., "Complex Residue" từ MathWorld.