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反餘弦(arccosine, arccos {\displaystyle \arccos } , cos − 1 {\displaystyle \cos ^{-1}} )是一種反三角函數,也是高等數學中的一種基本特殊函數。在三角學中,反餘弦被定義為一個角度,也就是餘弦值的反函數,然而餘弦函數是雙射且不可逆的而不是一個對射函數(即多個值可能只得到一個值,例如1和所有同界角),故無法有反函數,但我們可以限制其定義域,因此,反餘弦是單射和滿射也是可逆的,另外,我們也需要限制值域,且限制值域時,不能和反正弦定義相同的區間,因為這樣會變成一對多,而不構成函數,所以我們將反餘弦函數的值域定義在 [ 0 , π ] {\displaystyle \left[0,\pi \right]} ([0,180°])。另外,在原始的定義中,若輸入值不在區間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ,是沒有意義的,但是三角函數擴充到複數之後,若輸入值不在區間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ,將傳回複數。
反餘弦的數學符號是 arccos {\displaystyle \arccos } ,最常被計為 cos − 1 {\displaystyle \cos ^{-1}} 。在不同的編程語言和有些計算器則使用acos或acs。
原始的定義是將餘弦函數限制在 [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} ([0,180°])的反函數在複變分析中,反餘弦是這樣定義的:
這個動作使反餘弦被推廣到複數。
反餘弦函數是一個定義在區間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \left[-1,1\right]} 的嚴格遞減連續函數。
其圖形是對稱的,即對稱於點 ( 0 , π 2 ) {\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)} ,或表示為 ( 0 , 90 ∘ ) {\displaystyle \left(0,90^{\circ }\right)} ,所以滿足 arccos x = π − arccos ( − x ) = 180 ∘ − arccos ( − x ) {\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)=180^{\circ }-\arccos \left(-x\right)} 反餘弦函數的導數是: d d x arccos x = − 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} .反餘弦函數的泰勒級數是:
基於上述級數在 | x | {\displaystyle |x|} 接近1時收斂速度十分緩慢,在 x = − 1 {\displaystyle x=-1} 求得的泰勒級數是:
由於先前描述的對稱關係 arccos x = π − arccos ( − x ) {\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)} ,可由上式計算 | x | {\displaystyle |x|} 接近1時的反餘弦值。
也可以用反餘弦和差公式將兩個餘弦值合併成一個餘弦值:
直角三角形的輻角為其鄰邊和斜邊之間的比率的反餘弦值。