可测函数(英語:measurable function)是保持可测空间結構的函数,也是勒貝格積分中主要討論的函數。
可測函數的定義 — 設 ( X , Σ X ) {\displaystyle (X,\Sigma _{X})} 與 ( Y , Σ Y ) {\displaystyle (Y,\Sigma _{Y})} 為可测空间。那函数 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 對任意 B ∈ Σ Y {\displaystyle B\in \Sigma _{Y}} 若滿足:
則稱 f {\displaystyle f} 為一個 Σ X {\displaystyle \Sigma _{X}} - Σ Y {\displaystyle \Sigma _{Y}} 可測函數。
取本節定義中的 Y {\displaystyle Y} 為实数系 R {\displaystyle \mathbb {R} } ,然後取:
換句話說, B R {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }} 是由實數開區間所生成的博雷爾代數(注意到 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 本身是個拓扑基),那麼這樣的 Σ X {\displaystyle \Sigma _{X}} - B R {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }} 可測函數 f {\displaystyle f} ,通常會簡稱為 Σ X {\displaystyle \Sigma _{X}} - 實可測函數;甚至簡稱為實可測函數。概率论裡的随机变量就是實可測函數。
如果 ( X , τ X ) {\displaystyle (X,\tau _{X})} 與 ( Y , τ Y ) {\displaystyle (Y,\tau _{Y})} 正好也是拓撲空間,這時取以下兩個最小σ-代数:
換句話說, σ ( τ X ) {\displaystyle \sigma (\tau _{X})} 是由 X {\displaystyle X} 上开集所生成的博雷爾代數; σ ( τ Y ) {\displaystyle \sigma (\tau _{Y})} 是由 Y {\displaystyle Y} 上开集所生成的博雷爾代數,那這樣 σ ( τ X ) {\displaystyle \sigma (\tau _{X})} - σ ( τ X ) {\displaystyle \sigma (\tau _{X})} 可测函数 f {\displaystyle f} 又称为 τ X {\displaystyle \tau _{X}} - τ Y {\displaystyle \tau _{Y}} 博雷爾函数(Borel function)。
根據拓撲空間连续函數的定義, τ X {\displaystyle \tau _{X}} - τ Y {\displaystyle \tau _{Y}} 博雷爾函数必定 τ X {\displaystyle \tau _{X}} - τ Y {\displaystyle \tau _{Y}} 連續,但反之不成立,原因可見下面可测函数的性质的定理(2)。
定理(1) — 設 ( X , Σ X ) {\displaystyle (X,\Sigma _{X})} 為可测空间, Y {\displaystyle Y} 為一集合,且有函数 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 。那
為 Y {\displaystyle Y} 的σ代數。
以下將逐條檢驗 Σ {\displaystyle \Sigma } 是否符合σ代數的定義
(1) Y ∈ Σ {\displaystyle Y\in \Sigma }
因為:
所以 Y ∈ Σ {\displaystyle Y\in \Sigma } 。
(2) B ∈ Σ {\displaystyle B\in \Sigma } ,則 Y − B ∈ Σ {\displaystyle Y-B\in \Sigma }
若 B ∈ Σ {\displaystyle B\in \Sigma } ,因為:
所以 Y − B ∈ Σ {\displaystyle Y-B\in \Sigma } 。
(3)可數個并集仍在 Σ {\displaystyle \Sigma } 中
若 { B 1 , B 2 , … } ⊆ Σ {\displaystyle \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\subseteq \Sigma } ,那因為:
所以 ⋃ { B 1 , B 2 , … } ∈ Σ {\displaystyle \bigcup \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\in \Sigma } 。
綜上所述, Σ {\displaystyle \Sigma } 的確是 Y {\displaystyle Y} 的σ代數。 ◻ {\displaystyle \Box }
定理(2) — ( X , Σ X ) {\displaystyle (X,\Sigma _{X})} 為可测空间 , F Y ⊆ P ( Y ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{Y}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)} 是集合 Y {\displaystyle Y} 的一個子集族 ,那對函数 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 來說,以下兩敘述等價:
(1 ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 2)
若對所有 B ∈ F Y {\displaystyle B\in {\mathcal {F}}_{Y}} 都有:
換句話說:
那根據本節之定理(1)和最小σ代数 σ ( F Y ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})} 的定義有:
換句話說,只要 B ∈ σ ( F Y ) {\displaystyle B\in \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})} 就有 f − 1 ( B ) ∈ Σ X {\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}} ,故 f {\displaystyle f} 是 Σ X {\displaystyle \Sigma _{X}} - σ ( F Y ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})} 可測函數。 ◻ {\displaystyle \Box }
(2 ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 1)
若對所有 B ∈ σ ( F Y ) {\displaystyle B\in \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})} 都有 f − 1 ( B ) ∈ Σ X {\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}} ,換句話說:
這樣的話,的確可以從 B ∈ F Y {\displaystyle B\in {\mathcal {F}}_{Y}} 推出 f − 1 ( B ) ∈ Σ X {\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}} 。 ◻ {\displaystyle \Box }
定理(3) — 設 ( X , Σ X ) {\displaystyle (X,\Sigma _{X})} 為可测空间, ( Y , τ Y ) {\displaystyle (Y,\tau _{Y})} 與 ( Z , τ Z ) {\displaystyle (Z,\tau _{Z})} 為拓扑空间,若: [1]
則复合函数 g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 為 Σ X {\displaystyle \Sigma _{X}} - σ ( τ Z ) {\displaystyle \sigma (\tau _{Z})} 可測函數。
根據定理(2), g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 為 Σ X {\displaystyle \Sigma _{X}} - σ ( τ Z ) {\displaystyle \sigma (\tau _{Z})} 可測函數等價於:
但因為 g {\displaystyle g} 為 τ Y {\displaystyle \tau _{Y}} - τ Z {\displaystyle \tau _{Z}} 连续函數,故:
但 f {\displaystyle f} 又為 Σ X {\displaystyle \Sigma _{X}} - σ ( τ Y ) {\displaystyle \sigma (\tau _{Y})} 可測函數,故可以得到 f − 1 [ g − 1 ( C ) ] ∈ Σ X {\displaystyle f^{-1}[g^{-1}(C)]\in \Sigma _{X}} ,所以本定理得証。 ◻ {\displaystyle \Box }
勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R,使得对于每一个实数a,集合
都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征,是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。
不是所有的函数都是可测的。例如,如果 A {\displaystyle A} 是实数轴 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的一个不可测子集,那么它的指示函数 1 A ( x ) {\displaystyle 1_{A}(x)} 是不可测的。