有序域
定义
一个满足下面两个条件的、拥有全序关系 的域
被定义为有序域:对于任何
中的元素
以下两个条件获得满足:
- 若
,则
。
- 若
且
,则
。
大于0的元素被称为是正的,小于0的元素被称为是负的。
特性
由以上定义可以直接推导出以下特性( 是
的元素):
- 一个正的元素的负数是负的,一个负的元素的负数是正的:即任何
中的
,假如
则
或
。
- 不等式可以相加:
和
则
。
- 不等式可以与正元素相乘:
和
则
。
- 平方数不是负的:
,尤其
。
- 通过数学归纳法可以推导出任何一的有限的和是正的:
。
结构
所有有序域都具有特征数0。这个结论直接出于上述的最后一个特性 。
每个有序域的子域也是有序域。任何含特征数0的域其最小子域与有理数同構,且这个子域的排序与 一致。
假如一个有序域中的任何元素都介于两个有理数之间的话,则该域具有阿基米德性质。比如实数是具有阿基米德性质的,而超实数则不具有。
有序域 的排序可用來定義
的拓扑空间,这个拓扑空间可由
和
作為準基來生成,稱之為序拓撲。加法和乘法运算相对于这个拓扑空间是连续的。