简介
证明
广义特征向量
考虑前面例子中的矩阵M。M的若尔当标准型可以写成P−1MP = J,即
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其中变换矩阵P的四个列向量为:pi , i = 1, ..., 4,于是
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也就是:
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对于i = 1、2、3, 都是某个特征值所对应的特征向量: 。然而,当i=4时, 并不是特征值4所对应的特征向量。尽管如此:
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于是 。像 这样的向量被称为M的广义特征向量。
给定一个特征值 ,它对应的若尔当块 :
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对应着一个由广义特征向量所张成的子空间,因为对应的基底 满足:
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- 也就是说
因此,“所有特征值在 中的矩阵都相似于某个若尔当标准型”这个命题等价于存在一个由这个矩阵的特征向量和广义特征向量构成的全空间的基底。
幂零矩阵的情况
当矩阵A为幂零矩阵(即存在m使得 )时,可以证明整个空间总是可以分解为若干个A-循环子空间的直和[1]。所谓的A-循环子空间就是由某个向量v以及基底: 线性张成的子空间。显然,这样的子空间是A-不变子空间。同时,注意到 是由A的特征向量和广义特征向量构成的( )。因此在这个循环子空间里,A在基底 下表示为若尔当块:
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因此A在所有这样的基底下可以表示为由若尔当块组成的分块对角矩阵,即若尔当标准型:
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一般情况
下面用数学归纳法证明:所有特征值在 中的n × n的矩阵都相似于某个若尔当标准型。
n= 1的情况显然。对于 考虑n × n矩阵A。对于A的一个特征值λ,设s为λ的几何重数。设线性变换 的像空间为 ,这是关于A的一个不变子空间。因为λ是特征值, 的空间维数r严格小于n。记 为A在子空间限制 上的部分。根据归纳假设存在一个基底:{p1, ..., pr}使得 在这个基底上为若尔当标准型。
接下来考虑子空间 ,只要能够证明整个空间可以分为:
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由于 是一个A-不变子空间,在上面 是幂零矩阵,因此可以写成若尔当标准型:
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而加上 后还是若尔当标准型。因此,A在 和 上都能写成若尔当标准型,从而A相似于某个若尔当标准型。
利用归纳法可知所有的n × n的矩阵都相似于某个若尔当标准型。
下面证明:
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设A的最小多项式为 ,并将其写成 。于是 和 互素。于是根据裴蜀定理,存在多项式:a和b使得 。每个向量u都可以写成:
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并且 ,同样地 ,因此 ,也就是说:
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另一方面,任意 , 。也就是说: 。综上所述,
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然而 , ,从而 。而根据秩-零化度定理, 和 维数相等,所以两者完全相等。于是
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从而命题得证。
推论
参见
注释
参考来源
外部链接